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《线性代数》期末试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、填空题（每空4分，共20分）

1.若向量组α?,α?,α?线性无关，则向量组α?+α?,α?+α?,α?+α?的秩为________.

2.设A是3阶矩阵，且|A|=2，则|3A|=________.

3.非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充要条件是________.

4.若n阶矩阵A的特征值为1,2,...,n，则|A|=________.

5.二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+2x?x?-2x?x?+4x?x?的矩阵表示为________.

二、计算题（每题10分，共40分）

1.计算行列式|A|，其中A=???123??????014??????5-16???.

2.解线性方程组：???x?+2x?+x?=1x?+x?+x?=2x?+x?+2x?=3.

3.设矩阵A=???101??????01-1??????120???，求矩阵A的逆矩阵A?1（若存在）.

4.求矩阵A=???111??????123??????136???的特征值和特征向量.

三、证明题（每题15分，共30分）

1.设向量组α?,α?,α?线性无关，证明向量组α?+α?,α?+α?,α?+α?也线性无关.

2.设A是n阶实对称矩阵，且满足A2=A，证明A的特征值只能是0或1.

试卷答案

一、填空题

1.3

解析：设β?=α?+α?,β?=α?+α?,β?=α?+α?。若存在不全为零的数k?,k?,k?使得k?β?+k?β?+k?β?=0，即k?(α?+α?)+k?(α?+α?)+k?(α?+α?)=0，整理得(k?+k?)α?+(k?+k?)α?+(k?+k?)α?=0。由α?,α?,α?线性无关，得k?+k?=0,k?+k?=0,k?+k?=0。解此方程组得k?=k?=k?=0，故β?,β?,β?线性无关，其秩为3。

2.18

解析：由行列式的性质，|kA|=k?|A|。此处A为3阶矩阵，|A|=2，故|3A|=33|A|=27*2=54。

3.秩(A)=秩(A|b)n

解析：根据有解判定定理，非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充要条件是增广矩阵(A|b)的秩小于系数矩阵A的秩，且两者都小于未知数的个数n。

4.n!

解析：n阶矩阵A的特征值之积等于其行列式，即|A|=λ?λ?...λ?。由题意λ?=1,λ?=2,...,λ?=n，故|A|=1*2*...*n=n!。

5.???11-1??????122??????-123???

解析：根据二次型与矩阵的关系，系数a??,a??,a??对应x?2,x?2,x?2的系数，系数a??,a??,a??,a??对应2x?x?,2x?x?,2x?x?的系数。故对应的矩阵为A=???11-1??????122??????-123???。

二、计算题

1.-30

解析：利用行列式的性质和展开定理计算。方法一：按第一行展开，|A|=1*|A??|-2*|A??|+3*|A??|，其中|A??|=|??14???|=1*6-(-1)*4=10，|A??|=|??04???|=0*6-(-1)*0=0，|A??|=|??01???|=0*(-1)-1*0=0。故|A|=1*10-2*0+3*0=10。方法二：利用行变换化简计算，将第一行乘以-5加到第三行，将第一行乘以-2加到第二行，得行列式|A|=(-1)2*(-1)?*|???-40-1??????-210??????011???|=|???-40-1??????-210??????011???|。按第一行展开，得|A|=-4*|??10??????11???|-0*|??-20??????11???|-1*|??-21??????01???|=-4*(1*1-0*1)-1*(-2*1-1*