新课标2010高考数学二轮复习：专题九《分类讨论的思想》.docVIP

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【专题九】分类讨论的思想

【考情分析】

高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

【知识交汇】

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

1.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点

⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；

⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；

⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；

⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

2.分类讨论的思想的本质

分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．

3.运用分类讨论的思想解题的基本步骤

⑴确定讨论对象和确定研究的全域；

⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；

⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；

⑷归纳总结，整合得出结论．

4.明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：

⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等；

⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；

⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；

⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；

⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；

⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

【思想方法】

一、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论

【例1】设，函数.

当时,求曲线在处的切线方程;

当时,求函数的最小值.

【解析】（1）当时，

令得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

所以曲线在处的切线方程为：。

（2）①当时，，

，恒成立。在上增函数。

故当时，

②当时，，

（）

（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时

(ii)当，即时，在时为负数，在间时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数

对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·，

不妨令a=b=2，c=1，则

V=·=·=.

四、问题中的条件是分类给出的

【例4】（2009年湖北卷理科）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。

【解析】（1）若为偶数，则为偶,故

①当仍为偶数时，故

②当为奇数时，

故得m=4。

（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数

，所以=1可得m=5

五、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。

解（1）设日销售量为

则日利润

（2）

①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35x41时，

∴当x=35时，L（x）取最大值为

②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，

易知当x=a+31时，L（x）取最大值为

综合上得

用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）。做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层类别不重复、不遗漏的分析讨论.”

【专题演练】

1．已知集合A=