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七年级上册数学一元一次方程应用题之利润问题

在我们的日常生活中，无论是走进商店购物，还是听到商家宣传打折促销，背后都蕴含着数学中的利润问题。对于七年级的同学而言，学习用一元一次方程解决这类问题，不仅能帮助我们理解商业活动的基本逻辑，更能提升运用数学知识解决实际问题的能力。这部分内容看似抽象，但只要掌握了核心概念和基本方法，便能迎刃而解。

一、利润问题的核心概念解析

要解决利润问题，首先必须厘清几个紧密相关的基本概念，它们是构建等量关系的基石。

成本价（进价）：顾名思义，这是商家购进商品时所付出的费用，也就是商品的买入价格。比如，一个商店老板从批发市场以某个价格进了一批文具，这个价格就是这批文具的成本价。

售价：指的是商品最终卖给消费者时的价格，也就是我们平时购买商品时支付的钱数。售价的高低直接影响着商家的盈利情况。

利润：当商品售出后，如果总售价高于总成本，商家就会获得利润。简单来说，利润就是商家赚到的钱。其基本计算公式为：利润=售价-成本价。例如，一件商品成本是50元，售价是70元，那么利润就是70元减去50元，等于20元。

利润率：这是一个相对概念，它表示利润占成本价的百分比。为什么要引入利润率呢？因为它能更直观地反映出商品的盈利水平。比如，同样是赚了10元，对于成本100元的商品和成本20元的商品，其盈利效率是不同的。利润率的计算公式是：利润率=（利润/成本价）×100%。将前面利润的计算公式代入，还可以得到利润率与售价、成本价之间的另一个关系式：利润率=（售价-成本价）/成本价×100%。

折扣：商家为了促销，常常会进行打折销售。所谓“几折”，就是指按原价（有时也叫标价）的百分之几十出售。例如，一件商品原价100元，打八折出售，就是按原价的80%出售，那么实际售价就是100元乘以80%。这里需要注意的是，折扣是相对于原价而言的，这在题目中需要仔细分辨。

二、等量关系的构建与解题思路

运用一元一次方程解决利润问题的关键在于准确找出题目中的等量关系。利润问题中的等量关系往往围绕着“利润”、“利润率”或者“售价”这几个核心概念展开。

常见的等量关系有以下几种情形：

1.直接利用利润公式：题目中明确提到了利润的具体数值，或者可以通过已知条件表示出利润，此时可以直接使用“利润=售价-成本价”这个基本公式来构建方程。

2.利用利润率公式：当题目中给出利润率，或者要求计算利润率时，“利润率=（利润/成本价）×100%”以及其变形公式“利润=成本价×利润率”就成为了列方程的重要依据。

3.涉及折扣的等量关系：若题目中存在打折销售的情况，那么“实际售价=原价×折扣（折扣通常用百分数表示）”这一关系就至关重要，它将帮助我们把折扣与售价联系起来。

解题的基本思路可以概括为：

首先，仔细阅读题目，理解题意，明确题目中已知什么，要求什么。

其次，找出题目中的关键量，如成本、售价、利润、利润率、折扣等，并分析它们之间的内在联系。

然后，根据题意设出合适的未知数。通常情况下，问什么设什么（直接设元法），但有时为了方便列出方程，也可以设题目中的某个关键中间量为未知数（间接设元法）。设未知数时，要记得带上单位。

接着，根据前面分析出的等量关系，列出一元一次方程。

之后，解方程求出未知数的值。

最后，检验所求的解是否符合题意（包括是否为方程的解以及是否符合实际意义），并写出完整的答案。

三、典型例题精析

下面通过几个典型例题，来具体展示如何运用上述思路和方法解决利润问题。

例题1：基础利润计算

某商店购进一批笔记本，每本的成本是5元。如果以每本7元的价格出售，那么卖出一本笔记本能获得多少利润？利润率是多少？

分析与解答：

这道题比较基础，主要考查对利润和利润率公式的直接应用。

已知：成本价（进价）为每本5元，售价为每本7元。

首先求利润：根据“利润=售价-成本价”，可得利润=7元-5元=2元。

然后求利润率：根据“利润率=（利润/成本价）×100%”，可得利润率=（2/5）×100%=40%。

答：卖出一本笔记本能获得2元利润，利润率是40%。

例题2：已知成本与利润率，求售价

一件商品的进货价为200元，商家希望获得20%的利润率，那么这件商品的售价应该定为多少元？

分析与解答：

本题要求售价，已知成本价和期望的利润率。我们可以先求出期望的利润，再加上成本价得到售价；或者直接利用利润率公式变形来求。

方法一：

设这件商品的售价为x元。

根据“利润=售价-成本价”，可得利润为（x-200）元。

又因为“利润率=利润/成本价×100%”，且已知利润率为20%，所以可列出方程：

（x-200）/200×1