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高等数学常用公式与结论

1.两个重要极限

(1)

广为：

2.四则运算法则

如果limf(x)A,limg(x)B

那么①lim[f(x)±g(x)]limf(x)±limg(x)A±B

3.无穷小性质

有限个无穷小的代数和为无穷小.

有限个无穷小的乘积为无穷小.

无穷小乘以有界变量为无穷小.

—1—

4.无穷小比较

若则称α(x)是比β(x)高阶无穷小，记为a(x)0(β(x).

若则称α(x)是比β(x)低阶无穷小。

若则称α(x)是与β(x)同阶无穷小。

若则称α(x)是β(x)等价无穷小，记为α(x)~β(x).

_

若则称α(x)是β(x)的k阶无穷小.

当x→0时，(x→∞?)

—2—

5.间断(只需讨论无定义点和分段函数分段点的极限)

设函数f(x)在点x。的某去心邻域内有定义

(1)第一类间断点：f(x₀-0),f(x₀+0)均存在

①f(x₀-0)≠f(x₀+0)→跳跃间断点

②f(x₀-0)f(x₀+0)≠f(x₀)→可去间断点

(2)第二类间断点：f(x₀-0),f(x₀+0)至少有一个不存在

①f(x₀-0)和f(x₀+0)“∞”→无穷间断点

f(x-0)f(x₀+0)“”→

②₀和振荡振荡间断点

6.渐近线

。为一条铅直渐近线。

(2)

(3)一条斜渐近线。

7.求导公式

(c)0

(sinx)cosx(cosx)-sinx

(tanx)sec²x(cotx)-csc²x

(secx)secxtanx(cscx)-cscxcotx

—3—

求导法则

uu(x),vv(x)都可导

(u±v)u±v(Cu)Cu(C是常数)

[uvuv+uv

8.单调性与极值

(1)单调性与极值

①f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，f(x)0,f(x)单调增加；f(x)0,

f(x)单调减少.

f(x)U(x)VxU(x),f(x)f(x)→f(x)

②在。内有定义，∈。。。为极小值；

f(x)f(x。)→f(x。)为极大值.

③第一充分条件：f(x)在x₀处连续，在U(x₀,8)内可导

x(x₀-δ,x)f(x)0,x(x₀,x₀+δ)f(x)0,

若∈。时而∈时

→f(x₀)为极大值.

若x∈(x₀-δ,x₀)时f(x