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高数竞赛试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在x→0时，极限存在且为0的是（）（1分）

A.f(x)=sin(1/x)

B.f(x)=x^2sin(1/x)

C.f(x)=e^x-1

D.f(x)=log(1+x)

【答案】B

【解析】f(x)=x^2sin(1/x)在x→0时，由于x^2→0且sin(1/x)有界，因此极限为0。

2.函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）

A.2

B.8

C.0

D.4

【答案】B

【解析】f(x)=3x^2-3，令f(x)=0得x=±1，计算f(-2)=0，f(-1)=4，f(1)=-2，f(2)=8，因此最大值为8。

3.下列级数中，收敛的是（）（1分）

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(1/n^3)

【答案】B

【解析】p-级数测试，当p1时收敛，故1/n^2收敛。

4.函数y=sin(x)在区间[0,π]上的积分值为（）（2分）

A.1

B.0

C.-1

D.2

【答案】B

【解析】∫(0toπ)sin(x)dx=-cos(x)|_(0toπ)=-cos(π)+cos(0)=2。

5.下列极限中，正确的是（）（1分）

A.lim(x→0)(sin(x)/x)=1

B.lim(x→0)(1-cos(x)/x)=0

C.lim(x→0)(e^x-1/x)=1

D.lim(x→0)(tan(x)/x)=∞

【答案】A

【解析】标准极限结果，lim(x→0)(sin(x)/x)=1。

6.函数f(x)=x^2e^-x在x→∞时的极限是（）（2分）

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

【答案】A

【解析】x^2增长速度慢于e^x衰减速度，故极限为0。

7.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是（）（1分）

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

【答案】D

【解析】左右导数不相等，故导数不存在。

8.下列微分方程中，线性微分方程是（）（2分）

A.y+y=sin(x)

B.y+y^2=0

C.y+y=e^x

D.y+y=y^3

【答案】C

【解析】线性微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次幂。

9.函数f(x)=x^3-3x+1的拐点是（）（1分）

A.(1,-1)

B.(0,1)

C.(-1,3)

D.(1,0)

【答案】D

【解析】f(x)=6x，令f(x)=0得x=0，计算f(0)=1，拐点为(0,1)。

10.函数f(x)=arctan(x)在x=0处的泰勒展开式中x^3项的系数是（）（2分）

A.1/3

B.0

C.-1/3

D.1

【答案】B

【解析】arctan(x)泰勒展开式中x^3项系数为0。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的极值点？（）

A.x=-1

B.x=1

C.x=0

D.x=-2

E.x=2

【答案】A、B、C

【解析】f(x)=3x^2-3，令f(x)=0得x=±1，计算二阶导数f(x)=6x，f(-1)=-60，f(1)=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点；f(0)=0，不能直接判断，但x=0为驻点。

2.以下哪些级数收敛？（）

A.∑(n=1to∞)(1/n^p)(p1)

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/(n+1)

C.∑(n=1to∞)(1/n)

D.∑(n=1to∞)(1/sqrt(n))

E.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

【答案】A、B、E

【解析】p-级数测试p1收敛，交错级数测试满足条件收敛。

3.以下哪些函数在x→0时，极限lim(x→0)f(x)不存在？（）

A.f(x)=sin(1/x)

B.f(x)=cos(1/x)

C.f(x)=e^x

D.f(x)=log(1+x)

E.f(x)=1/x

【答案】A、B、E

【解析】sin(1/x)和cos(1/x)在x→0时振荡无极限，1/x在x→0时趋于无穷大。

4.以下哪些是函数f(x)=x^2sin(1/x)在x=0处的性质？（）

A.连续

B.可导

C.极限存在

D.导数为0

E.导数不存在

【答案】A、C、D

【解析】定义f(0)=0，极限为0，f(0)=lim(x→0)(xsin(1/x))=0，故连续、极限存在、可导且导数为0。

5.以下哪些是微分方程y-y=0的解？（）

A.y=e^x

B.y=e^-x

C.y=sin(x)

D.y=cos(x)

E.y=x

【答案】A、B、C、D

【解析】特征方程r^2-1=0的根为r=±1，通解为c1e^x+c2e^-x，故A、B、C、D为解。

三、填空题

1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的切线方程是______。（4分