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2025年北京大学高数期末考试及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值是

A.0

B.2

C.4

D.不存在

答案：C

2.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

答案：C

3.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是

A.0

B.1

C.-1

D.3

答案：A

4.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是

A.e

B.e-1

C.1

D.1/e

答案：B

5.不定积分∫(1/x)dx的结果是

A.ln|x|+C

B.x^2/2+C

C.e^x+C

D.sinx+C

答案：A

6.级数∑(n=1to∞)(1/n^2)的收敛性是

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

D.无法判断

答案：C

7.微分方程y-y=0的通解是

A.y=C1e^x+C2e^-x

B.y=C1sinx+C2cosx

C.y=C1e^x+C2xe^x

D.y=C1e^-x+C2xe^-x

答案：A

8.函数f(x)=sinx在区间[0,π]上的积分是

A.1

B.2

C.π

D.0

答案：B

9.空间曲线r(t)=(t,t^2,t^3)在t=1处的切向量是

A.(1,1,1)

B.(1,2,3)

C.(0,1,2)

D.(1,0,1)

答案：B

10.圆柱面x^2+y^2=1在z轴上的投影是

A.一个圆

B.一个椭圆

C.两条平行直线

D.一个点

答案：A

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列函数中，在x=0处可导的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=sinx

答案：A,C,D

2.下列函数中，在x→∞时趋于无穷大的是

A.f(x)=1/x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sinx

答案：B,C

3.下列级数中，收敛的是

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(1^n)

答案：B,C

4.下列微分方程中，线性微分方程是

A.y+y=0

B.y+y^2=0

C.y+y=x

D.y+y^2=x

答案：A,C

5.下列积分中，值为0的是

A.∫(from-1to1)xdx

B.∫(from-πtoπ)sinxdx

C.∫(from0to1)e^xdx

D.∫(from-1to1)cosxdx

答案：A,B,D

6.下列级数中，绝对收敛的是

A.∑(n=1to∞)(1/n^2)

B.∑(n=1to∞)(1/n)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

答案：A,C

7.下列函数中，在x=0处连续的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=1/x

D.f(x)=sinx

答案：A,B,D

8.下列级数中，条件收敛的是

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

答案：C

9.下列函数中，在x=0处可微的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=sinx

答案：A,C,D

10.下列积分中，值为π的是

A.∫(from0toπ)sinxdx

B.∫(from-πtoπ)cosxdx

C.∫(from0toπ)cosxdx

D.∫(from-πtoπ)sinxdx

答案：A,D

三、判断题（每题2分，共10题）

1.函数f(x)=x^2在x=0处的导数是0。

答案：正确

2.极限lim(x→∞)(1/x)=0。

答案：正确

3.函数f(x)=|x|在x=0处不可导。

答案：正确

4.级数∑