小学六年级数学上册——工程问题.docxVIP

在小学六年级的数学学习中，工程问题是一个重要的知识点，它不仅与我们的实际生活紧密相连，更是对同学们逻辑思维和解决问题能力的综合考察。工程问题看似复杂，但只要掌握了其核心思想和解题方法，就能迎刃而解。本文将带你深入理解工程问题的本质，掌握解题技巧，轻松应对各类相关题目。

一、工程问题的基本概念与核心关系

工程问题主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

*工作总量：指一项工程的全部工作量，通常我们将其看作单位“1”。例如，完成一项工程、修一段路、加工一批零件等，都可以把它的总量抽象为“1”。当然，在某些具体情境下，工作总量也可能是一个具体的数量，但六年级上册主要以“单位1”的形式来研究。

*工作效率：指单位时间内完成的工作量。它是衡量工作快慢的指标。例如，如果一个人3天能完成一项工作，那么他一天完成的工作量就是这项工作的1/3，这里的1/3就是他的工作效率。通常表示为“几分之一”（当工作总量为1时）。

*工作时间：指完成全部工作总量所需要的时间。

这三者之间的核心数量关系是解决所有工程问题的基础，必须牢牢掌握：

工作总量=工作效率×工作时间

由此公式，我们还可以推导出另外两个常用的变形公式：

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

在工程问题中，我们通常把工作总量设为单位“1”。因此，工作效率就可以表示为“1/工作时间”。例如，甲单独做一项工程需要10天完成，那么甲的工作效率就是1/10（表示每天完成这项工程的十分之一）。

二、工程问题的基本题型与解题方法

工程问题的题型多样，但万变不离其宗。我们从最基础的题型入手，逐步深入。

（一）单人工作问题

这是工程问题中最简单的类型，只涉及一个工作者。

例题1：一项工程，甲队单独做需要15天完成。

（1）甲队每天完成这项工程的几分之几？

（2）甲队工作5天能完成这项工程的几分之几？

（3）甲队工作5天后，还剩下这项工程的几分之几未完成？

分析与解答：

（1）将这项工程的工作总量看作单位“1”，甲队单独做需要15天完成。根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，甲队的工作效率为：1÷15=1/15。

答：甲队每天完成这项工程的1/15。

（2）甲队每天完成1/15，工作5天完成的工作量为：工作效率×工作时间=1/15×5=5/15=1/3。

答：甲队工作5天能完成这项工程的1/3。

（3）把总量“1”减去已完成的1/3，就是剩下的工作量：1-1/3=2/3。

答：还剩下这项工程的2/3未完成。

解题关键：明确单位“1”，熟练运用基本数量关系式。

（二）两人（或多人）合作问题

这是工程问题中最常见也最重要的类型。核心思想是：合作时，总的工作效率等于各部分工作效率之和。

例题2：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。如果甲、乙两队合作，几天可以完成这项工程？

分析：

甲队的工作效率是1/10（每天完成1/10），乙队的工作效率是1/15（每天完成1/15）。

当两队合作时，他们每天一起能完成的工作量就是甲的效率加上乙的效率，即：1/10+1/15。

工作总量是“1”，要求合作时间，根据“工作时间=工作总量÷工作效率之和”即可求出。

解答：

甲队效率：1÷10=1/10

乙队效率：1÷15=1/15

两队合作效率：1/10+1/15

（通分计算）=3/30+2/30=5/30=1/6

合作时间：1÷(1/6)=6（天）

答：甲、乙两队合作，6天可以完成这项工程。

例题3：一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。两队合作3天后，剩下的工程由乙队单独做，还需要多少天才能完成？

分析：

这道题先合作，再单独做。可以先求出两队合作3天完成的工作量，然后用总量“1”减去已完成的，得到剩下的工作量，最后用剩下的工作量除以乙队的工作效率，就是乙队还需要的时间。

解答：

甲队效率：1/12，乙队效率：1/18。

合作效率：1/12+1/18=(3+2)/36=5/36

合作3天完成的工作量：5/36×3=15/36=5/12

剩下的工作量：1-5/12=7/12

乙队单独完成剩下工作所需时间：7/12÷(1/18)=7/12×18=(7×18)/12=(7×3)/2=21/2=10.5（天）

答：还需要10.5天才能完成。（或写成分数形式21/2天）

解题关键：

1.分别求出各自的工作效率。

2.求出合作的总效率。

3.根据“工作量=效率×时间”求出合作完成的工作量（或某段时间完成的工作量）。

4.分析剩