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数学角平分线专题知识点讲解与习题

角平分线是平面几何中的一个基本而重要的概念，它在角度计算、线段关系证明以及图形性质探究中都扮演着关键角色。掌握角平分线的相关知识，能够帮助我们更深入地理解几何图形的内在联系，并有效提升解决几何问题的能力。本文将系统梳理角平分线的定义、性质、判定及其在三角形中的应用，并辅以典型习题进行巩固。

一、角平分线的定义与基础认知

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

这个定义包含两个核心要素：一是“从顶点出发”，二是“分成两个相等的角”。它揭示了角平分线的本质——角的数量关系的平分线。我们通常用符号“∠”表示角，用“AD平分∠BAC”这样的表述来表示射线AD是∠BAC的平分线，此时有∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC。

理解定义是后续学习的基础。在具体图形中，准确识别角平分线，并能根据定义得出角的数量关系，是解决相关问题的第一步。

二、角平分线的性质定理及其逆定理

（一）角平分线的性质定理

定理内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

理解与阐释：如图1（请读者自行绘制：一个角∠AOB，OC是其平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E），若OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，那么PD=PE。

这个定理的证明思路通常是利用“角角边”（AAS）证明△POD和△POE全等，从而得出对应边PD=PE。它告诉我们，角平分线上的点具有到角两边“等距离”的特性，这是角平分线最核心的性质之一，在证明线段相等、计算图形面积等方面有着广泛应用。

（二）角平分线性质定理的逆定理

定理内容：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

理解与阐释：仍参照图1的构造思路，若点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上，即射线OP平分∠AOB。

此逆定理的证明同样可以通过证明三角形全等来完成（HL定理）。它为我们提供了一种判定一条射线是否为角平分线的方法：即只需证明这条射线上某一点到角两边的距离相等即可。

性质定理和其逆定理相辅相成，前者是由“线是角平分线”推导出“点到两边距离相等”，后者是由“点到两边距离相等”反推出“线是角平分线”，体现了几何中的互逆思维。

三、三角形中的角平分线

角平分线在三角形中有着特殊的地位和丰富的性质，是三角形重要的“五心”（重心、垂心、外心、内心、旁心）之一——内心的形成要素。

（一）三角形角平分线的定义

在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

注意，三角形的角平分线是一条线段，而非射线，这与一般角的平分线（射线）有所区别。

（二）三角形角平分线定理

定理内容：三角形的一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

理解与阐释：如图2（请读者自行绘制：△ABC，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D），则有BD/DC=AB/AC。

这个定理揭示了三角形角平分线所产生的比例关系，是解决三角形中线段比例问题的重要工具。其证明方法多样，常见的有通过作平行线构造相似三角形，或利用三角形面积法进行证明。例如，过点C作CE∥AD交BA的延长线于E，可证得AE=AC，再由平行线分线段成比例定理得出BD/DC=AB/AE=AB/AC。

（三）三角形三条角平分线的交点——内心

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心。

这一性质是角平分线性质定理的直接推论。由于内心到三边距离相等，这个距离就是三角形内切圆的半径。内心在解决与三角形内切圆相关的问题，以及涉及角平分线长度、三角形面积（可利用面积公式S=r*s，其中r为内切圆半径，s为三角形半周长）等问题时具有重要作用。

四、角平分线相关的辅助线作法

在解决与角平分线有关的几何问题时，恰当添加辅助线往往能起到事半功倍的效果。常见的辅助线作法有：

1.过角平分线上一点向角的两边作垂线：这是最常用的辅助线之一，目的是直接应用角平分线的性质定理，得到两条垂线段相等。

2.利用角平分线的对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形：例如，在角的两边上，从顶点出发截取相等的线段，再连接角平分线上的点与这些端点，可构造出全等三角形。

3.有三角形角平分线时，考虑延长角平分线或在角的对边上截取线段，构造相似三角形或等腰三角形：例如，为了证明三角形角平分线定理，常过一边端点作角平分线的平行线。

辅助线的添加没有固定模式，关键在于理解题意，分析已知条件和求证结论，结合角平分线的性质和定理，灵活运用。

五、习题演练

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