精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）.docxVIP

高二第一学期期中试卷

数学

（高24级）2025.11

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.在正方体中，下列直线与异面的是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】画出图形，根据图形，利用异面直线的判定方法判定.

【详解】如图，可知与都在平面中，与平行，,只有与既不平行又不相交，也就是异面，

故选：C

2.已知，，，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行向量的性质列出式子即可求出.

【详解】，，，

当时，设，即，解得、，

，

故选：.

3.已知球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积与圆柱的表面积之比为（）

A.1:1 B.2:3 C.3:4 D.1:2

【答案】B

【解析】

【分析】求出球的表面积与圆柱的表面积可得答案.

【详解】球的半径为，则球的表面积为，

圆柱的底面半径为，高为，

则圆柱的表面积为，

所以球的表面积与圆柱的表面积之比为.

故选：B.

4.已知函数，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出函数的定义域，再计算，即可判断.

【详解】函数的定义域为，

又，所以，

所以，故A正确、B错误；

由，

则恒不成立，不恒成立，故C、D错误.

故选：A

5.已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线与平面平行的判定及性质可得.

【详解】充分性:若,则由直线与平面平行的性质，存在直线，.

必要性：若存在直线，，则可能平行于或在内，

故选：A

6.在正方体中，为的中点，则与所成角的大小为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可．

【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：

不妨设正方体的棱长为2，

则,

得,

则，

设与所成角为，

则，

则与所成角为大小为.

故选：B

7.已知数列满足：，对于任意的，有，，则（）

A.5050 B.50 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设可推出，再根据求出其通项，最后分组求和即可.

【详解】，即，

则，且

则为首项为0的常数列，

则，则，

又因为，且，可知数列的项的符号正负交替，

则当为奇数时，，

当为偶数时，，

则.

故选：D.

8.函数，.设的最大值为，最小值为，当，，在变化时，的最小值为（）

A1 B.2 C.4 D.8

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论函数在区间上的单调性，利用变换主元及二次函数性质求解即可.

【详解】当时，在上单调递增，

，

则，

令，

因为在定义域内单调递增，所以，

当且仅当时等号成立，此时的最小值为；

当时，即时，在上单调递减，

，

则，

令，

因为在定义域内单调递减，所以，

当且仅当时等号成立，此时的最小值为；

当时，由二次函数性质可知，要使有最小值，

则，即，此时，，

所以；

综上：的最小值为.

故选：C

9.在正四棱锥中，，侧面与底面所成的角的正切值为2，记正方形及内部区域为，则表示区域的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，连接，根据正四棱锥的结构特征结合二面角可得，分析可知，进而可知所求区域的特征和面积.

【详解】设，连接，则平面，

取中点，连接，则，

因为，，则，，

可知二面角的平面角为，

由题意可知：，可得，

连接，因为平面，平面，则，

可得，可知点在以为圆心，半径为的圆上或圆内，

取临界值，且，，则，

可知点在区域内的部分如图阴影部分所示：

则，可知，

根据对称性可得，，

所以表示区域的面积为.

故选：D.

10.定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（）

A.若，则，，互为5阶友好数列

B.若，则，，互为5阶友好数列

C.若，则，使，互为4阶友好数列

D.若，则，使，互为4阶友好数列

【答案】D

【解析】

【分析】根据阶友好数列的定义排除A、B、C.

【详解】A选项，当时，数列的公差为，，，

是公比为的无穷项等比数列，所以，

因为，，所以在上单调递增，

在上单调递减，

所以在上单调递增，

所以，

所以，当时，，则，

此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故A错误；

B选项，当时，数列的公差为，，

当时，，

令，，

所以，可知在上单调递