抛物线的简单几何性质综合.ppt

引伸：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．OFBACDEH分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xy第60页，共91页，星期日，2025年，2月5日证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．第61页，共91页，星期日，2025年，2月5日lFAxyBB1pp1A1抛物线的焦点弦：第62页，共91页，星期日，2025年，2月5日lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为的最小值第63页，共91页，星期日，2025年，2月5日第64页，共91页，星期日，2025年，2月5日例5过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。xyOFABD所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。第65页，共91页，星期日，2025年，2月5日例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD当直线AB存在斜率时,设AB为与y2=2px联立,得yAyB=-p2当直线AB不存在斜率时,结论显然成立.所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。第66页，共91页，星期日，2025年，2月5日中点弦问题第67页，共91页，星期日，2025年，2月5日FM一、抛物线的几何性质：第68页，共91页，星期日，2025年，2月5日方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）第69页，共91页，星期日，2025年，2月5日.F第70页，共91页，星期日，2025年，2月5日.F第71页，共91页，星期日，2025年，2月5日.F第72页，共91页，星期日，2025年，2月5日*第73页，共91页，星期日，2025年，2月5日第74页，共91页，星期日，2025年，2月5日第75页，共91页，星期日，2025年，2月5日探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。第28页，共91页，星期日，2025年，2月5日例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0)第29页，共91页，星期日，2025年，2月5日⑴只有一个公共点第30页，共91页，星期日，2025年，2月5日⑵有两个公共点⑶没有公共点第31页，共91页，星期日，2025年，2月5日24l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,－2）x2=－2yB（1，y）y=－0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=－3代入得