点集拓扑笔记：定义+定理+习题解析，掌握拓扑空间与紧致性.pdfVIP

点集拓扑笔记：定义+定理+习题解析，掌握

拓扑空间与紧致性

目录

点集拓扑1

1拓扑空间2

1.1拓扑空间和度量空间2

1.2拓扑空间中的点集2

1.3连续映射与同胚3

1.4乘积空间和拓扑基4

习题5

2拓扑性质5

2.1分离公理和可数公理5

2.2紧致性7

2.3连通与道路连通9

3闭曲面与商空间10

3.1商空间10

3.2闭曲面和流形12

3.3闭曲面分类定理的证明13

（一）减少多边形边数16

（二）改变粘合方式17

(i)没有同向对17

(ii)有同向对18

紧线性算子的谱21

1拓扑空间

1.1拓扑空间和度量空间

给定非空集合，称其一个子集族的一个拓扑，如果满足三条拓扑公理：

⌀∈

(1)(2)中任意多个成员的并仍在中；(3)中有限成员的交仍在中.规定了

拓扑集合为拓扑空间(，且称拓扑元素为该拓扑空间中的开集

对非空集合称幂集2构成的离散拓扑，而{⌀}称为平凡拓扑

{∣

无限集合上的余有限拓扑（有限补拓扑）定义为是的有限子

}∪{⌀}{∣}∪

集，容易验证它是拓扑；余可数拓扑定义为是的可数子集

{⌀}

′′′′

⊃

设和是集合上的两个拓扑,如果,则称细于,或者粗于.

×→≥0,

集合上的一个度量是指映射满足三个条件：(1)正则性：

等号成立当且仅当2）对称性：(3）三角不等式：≤

+.规定了度量的集合是一个度量空间.

ℝ

中向量的全体在传统距离意义下构成度量空间，叫做维欧氏空间

对∈0，称子集,{∈,为一个球形邻域

000

引理：度量空间中的任意两个球形邻域之交必为若干球形邻域之并.

{

定义度量空间的子集族是若干球形邻域的并集},则它是一个拓扑,称为

上的度量拓扑.在这种意义下,度量空间是由度量拓扑诱导的拓扑空间.

1.2拓扑空间中的点集

拓扑空间中的一个子集称为闭集,如果是开集.

⌀

命题：与既是闭集又是开集；任意多个闭集的交、有限个闭集的并都是闭集

∈⊂∈⊂

设.若存在开集使得,则称是的一个内点以及是的一个邻