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泛函分析笔记

1距离空间

×→

集合上的一个距离是指映射满足三个条件：(1)正则性：

≥0，等号成立当且仅当2）对称性：(3）三角不等

≤+.(

式：规定了距离的集合就是一个距离空间，记作

ℝ(,…,),(,…,)

欧氏空间是距离空间,其中1((−

11

1

2

2

)).

闭区间[上的全体连续函数是距离空间，其中定义

max−|.

称距离空间中的点列{}收敛到，如果lim,)0.此时记lim

0∞0∞0

定理：距离空间中收敛点列的极限唯一，且该点列的任一子列也收敛到该极限.

→→,)→

定理：是关于的二元连续函数，即当时，

.

(((

ℝ

(,,…,)(,,…,)

中的收敛等价于按坐标收敛，即对12，12，

1,2,…，则,→0等价于→(→∞),1,2,…,

中的收敛性是函数列在[上的一致收敛

1

122

[0,1]上全体连续函数在距离(|−d下的收敛可称为均方收

20

敛.

∞|−|

−

{},{}2

设是全体实数列组成的集合,定义11+|−|,则是按坐

{{}}→{}⇔∀→

标收敛(即)的距离空间.