同调代数核心精讲：从模、范畴到导出函子与伽罗瓦理论.pdfVIP

同调代数核心精讲：从模、范畴到导

出函子与伽罗瓦理论

1模和范畴

1.1模

注：本书中满射和单射的符号分别是→和↔.

End(Λ

阿贝尔群的自同态构成环.环上的左模正是阿贝尔群连同环同态

Λ→End(ΛΛopp(⋅

.环的反环是元素组成相同但乘法定义反转opp

的环,它作为阿贝尔群与Λ同构.环Λ上的右模,或右Λ-模,正是左Λopp-模.

​∈−

例.设是群,是域.所有形式线性组合()组成的向量空间

−

在自然乘法下成为代数,称为在上的群代数.在上向量空间中

′

的−表示是群同态→Aut(,而环同态:→End(,

​↦​−

.由于的线性自同态也是阿贝尔群同态,故有环同态

→End(−−−

ℤ,使成为模.反之,模具有向量空间结构,

→End(End(

且结构映射ℤ通过分解对中元素的限制定义了

−−−

的表示.故的表示与模一一对应.

′′′′′′

短五引理：设↦↦和↦↦都是短正合列.若在交换图

′″

中,三个同态,中的两个是同构,则第三个也是同构.

Hom(Λ−

Λ表示从到的所有模同态构成的阿贝尔群.正变函子

Hom(−)Λ−Hom(Λ−

Λ将每个模对应到阿贝尔群Λ,将每个模同态

→对应到阿贝尔群的同态Hom(:Hom()→Hom().

12ΛΛ1Λ2

类似地,Hom(−,是反变函子.

Λ

′′′

Λ−→Λ−0→

定理：设有模正合序列.对任意模，它诱导的

′′′

→

Hom()Hom(→Hom()正合.

ΛΛΛ

′′′

定理：设有Λ−模正合序