第三节全微分及其应用.pptVIP

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第1页,共25页,星期日,2025年,2月5日一、全微分的定义第2页,共25页,星期日,2025年,2月5日全微分的定义第3页,共25页,星期日,2025年,2月5日第4页,共25页,星期日,2025年,2月5日对照一元函数的微分,z=f(x,y),若?z=A?x+0(?x)则dz=A?x=f(x0)·?x.自然会提出以下问题.(1)若z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,微分式dz=A?x+B?y中系数A,B如何求,是否与z的偏导有关?(2)在一元函数中,可微与可导是等价的.在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中,可微?连续,对二元函数是否也对?第5页,共25页,星期日,2025年,2月5日证二、可微的条件根据全微分的定义第6页,共25页,星期日,2025年,2月5日第7页,共25页,星期日,2025年,2月5日证总成立,同理可得第8页,共25页,星期日,2025年,2月5日一元函数在某点的导数存在微分存在.多元函数的各偏导数存在全微分存在.?例如,第9页,共25页,星期日,2025年,2月5日则当时,第10页,共25页,星期日,2025年,2月5日说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在,证第11页,共25页,星期日,2025年,2月5日(依偏导数的连续性)第12页,共25页,星期日,2025年,2月5日同理第13页,共25页,星期日,2025年,2月5日习惯上,记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数第14页,共25页,星期日,2025年,2月5日多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在第15页,共25页,星期日,2025年,2月5日解所求全微分第16页,共25页,星期日,2025年,2月5日解第17页,共25页,星期日,2025年,2月5日解所求全微分第18页,共25页,星期日,2025年,2月5日

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