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2025中考数学总复习专题三：角平分线类

角平分线，这条看似简单的射线，在初中几何的世界里扮演着至关重要的角色。它不仅自身蕴含着丰富的性质，更常常作为连接已知与未知的桥梁，在众多几何综合题中起到“牵一发而动全身”的作用。对于即将面临中考的同学们而言，熟练掌握角平分线的相关知识与应用技巧，无疑是攻克几何难关、提升解题能力的关键一环。本专题将带你系统梳理角平分线的核心内容，深入剖析其应用策略，并通过典型例题的精讲，帮助你真正做到融会贯通，灵活运用。

一、知识梳理：角平分线的核心概念与性质

要熟练运用角平分线解决问题，首先必须对其基本概念和性质有清晰、准确的理解。

1.1角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。这个定义看似简单，却揭示了角平分线的本质——“等分角”。在题目中，若出现“XX是∠ABC的平分线”这样的条件，我们应立即联想到∠ABD=∠CBD（其中D为角平分线上一点）。

1.2角平分线的性质定理

定理内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

几何语言表述：如图1，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。

定理解读：这个定理是角平分线最核心、应用最广泛的性质。它建立了“角平分线”与“距离相等”之间的联系。这里的“距离”指的是“点到直线的垂线段的长度”，这一点至关重要，同学们在应用时务必注意“垂直”这个前提条件。

1.3角平分线的判定定理（性质定理的逆定理）

定理内容：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

几何语言表述：如图1，若点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB。

定理解读：此定理为我们提供了判定一条射线是否为角平分线的依据。它与性质定理相辅相成，一个是由“角平分线”得到“距离相等”，一个是由“距离相等”反推“角平分线”。在证明“某射线是角平分线”时，这个定理非常有用。

二、方法归纳：角平分线相关辅助线作法与解题策略

在解决与角平分线相关的几何问题时，辅助线的添加往往是解题的关键。恰当的辅助线能够将分散的条件集中起来，或者构造出我们熟悉的基本图形（如全等三角形、等腰三角形等）。

2.1基本辅助线：过角平分线上一点向角的两边作垂线

这是角平分线性质定理最直接的应用。当题目中出现角平分线时，若需要用到角平分线上点到两边的距离，或者需要构造全等三角形（HL或AAS），过角平分线上的点向角的两边作垂线是首选思路。

适用场景：

*已知角平分线，需要证明线段相等。

*已知角平分线，需要证明角相等或线段垂直。

*题目中涉及角平分线，且存在与距离相关的条件或结论。

2.2截长补短：在角的两边上截取相等线段或延长线段构造全等

当题目中出现角平分线，且条件或结论中涉及到角两边上的线段和差关系时，“截长法”或“补短法”是常用的技巧。

*截长法：在较长的线段上截取一段等于较短的线段，然后证明余下的部分等于另一条线段。

*补短法：延长较短的线段，使延长部分等于另一条较短的线段，然后证明延长后的总线段等于较长的线段；或者将两条较短线段拼接起来，证明其长度等于较长线段。

适用场景：已知角平分线，且存在形如“AB=AC+BD”或“AB-AC=BD”的线段和差关系的证明。通过截长补短，可以利用角平分线构造出全等三角形（SAS）。

2.3角平分线+平行线，构造等腰三角形

若有一条直线平行于角的一边，且与角的平分线相交，则会构成一个等腰三角形。这是一个非常经典的模型。

模型解读：如图，若AD平分∠BAC，且DE∥AB交AC于E，则△ADE是等腰三角形，AE=DE。

同理，若DE∥AC交AB于E，则△ADE是等腰三角形，AE=DE。

适用场景：题目中同时出现角平分线和平行线的条件，或者需要构造等腰三角形来转移边或角的关系。

2.4利用角平分线的对称性构造全等三角形

角平分线所在的直线是角的对称轴。因此，我们可以利用这种对称性，以角平分线为对称轴，构造出全等的三角形，从而实现边、角的转移。例如，在角的两边上取关于角平分线对称的点，连接后得到全等三角形。

三、典例精析：从基础到综合，掌握解题技巧

下面通过几道典型例题，来具体感受一下角平分线相关问题的解题思路和方法。

3.1基础应用：直接运用角平分线性质定理

例1已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。

求证：BE=CF。

分析：题目中明确给出了AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，这自然让我们想到角平分线的性质定理，即DE=DF。又已知BD=CD，那么在Rt△BDE和