2026高一数学同步5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二) （导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.5.2第2课时简单的三角恒等变换(二)导学案

理解辅助角公式的推导过程，能熟练运用辅助角公式将形如y=asinx+

能利用二倍角公式导出半角公a式，理解半角公式中符号的确定方法。

掌握三角恒等变换的基本思想方法（如换元、逆向使用公式、化归），能运用三角恒等变换化简三角函数式、求值，并解决与几何图形面积、实际优化相关的简单问题。

通过探究与应用，体会三角恒等变换的工具性作用，提升逻辑推理和数学运算素养。

教学重点：辅助角公式的推导及应用．

教学难点：从实际问题中抽象出三角函数模型，并利用三角恒等变换进行解决．

知识点辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝eq\o(□,\s\up1(01))eq\r(a2＋b2)sin(x＋)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符号确定)).

[点拨](1)该函数的最大值为eq\r(a2＋b2)，最小值为－eq\r(a2＋b2).

(2)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)cos(x－θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(a,b)))也是常用的化简形式．

[想一想]辅助角公式是怎么推导出来的？

提示：推导过程：asinx＋bcosx

＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx)).

令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，

则asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，

其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)确定或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同确定．

导入1：建筑中的最值问题

同学们，在校园新建的遮阳棚设计中，工程师遇到了一个问题：遮阳棚的截面是扇形的一部分，要在其中安装一个矩形遮阳板，矩形的一边在扇形的直径上，另外两个顶点在圆弧上。如何选择矩形的边长，才能让遮阳板的面积最大，遮阳效果最好？这个问题其实可以转化为“当某个角变化时，如何求矩形面积的最大值”。而矩形面积与角的关系可以用三角函数表示，但直接的三角函数式可能比较复杂，如何简化它呢？今天我们就通过三角恒等变换来解决这类问题。

【设计意图】以校园建筑为背景，贴近学生生活，引出“三角函数化简求最值”的需求，激发学生对三角恒等变换的探究兴趣。

【教学建议】可展示遮阳棚截面示意图，让学生直观感受几何量与角的关系，引导学生思考“面积如何用角表示”?“复杂的三角函数式如何简化”。

导入2：物理中的振动问题

大家在物理课上学习过单摆运动，单摆偏离平衡位置的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）的关系可以表示为y=

【设计意图】联系跨学科知识，体现数学的工具性，让学生明确“化简三角函数式”的实际意义，统领本节“转化函数形式解决性质问题”的核心目标。

【教学建议】可播放单摆运动视频，让学生观察位移变化规律，提问“如何从函数式中直接看出最大位移和周期”，引发认知冲突。

探究点1：辅助角公式的推导与应用

问题1：如何将y=asin

引导学生回忆两角和的正弦公式：sin(x+φ)=sin

设asinx+bcosx=Asinxcosφ+Acos

得出辅助角公式：y=a2+b2sin(

问题2：如何用辅助角公式求函数的周期和最值？

例9求下列函数的周期，最大值和最小值：

(1)；(2)．

分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式．反之，利用和(差)角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了．

解：(1)．

因此，所求周期为．最大值为2，最小值为．

设．则，

于是，于是，所以，

取，则，．

由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为．

【变式】函数的最大值为（????）．

A．4 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】由二倍角公式和辅助角公式可得，利用三角函数的性质可得答案.

【详解】

，

因为，

所以，

的最大值为.

故选：C．

【设计意图】通过公式逆向推导，让学生理解辅助角公式的来源，而非机械记忆；通过例题掌握“转化后直接利用正弦函数性质”的方法，体现化归思想。

【教学建议】推导时让学生自主对比系数，小组讨论“A和φ的几何意义”（A是模长，φ是相位角），通过画图直观理解φ的确定。

探究点2：三角恒等变换的实际应用

问题3：如何用三角