2024~2025学年上海市育才中学高三下学期三模数学试卷.docVIP

2024~2025学年上海市育才中学高三下学期三模数学试卷

一、填空题

(★)1.函数，的零点是______．

(★)2.方程的解集为________．

(★★)3.若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____．

(★★)4.若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是___________．

(★★)5.4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有______种.

(★★★)6.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______．

(★★★)7.设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为_________.

(★★)8.在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．

(★★★)9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________．

(★★★★)10.已知函数．若存在，使得，则的最大值为______．

(★★★)11.舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________.

(★★★★)12.对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________.

二、单选题

(★★)13.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)14.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（）附：若，则.

A．23

B．46

C．159

D．317

(★★)15.从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（）

A．50

B．60

C．70

D．80

(★★★)16.设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（）

A．命题p是真命题，命题q是假命题

B．命题p是假命题，命题q是真命题

C．命题p和命题q都是真命题

D．命题p和命题q都是假命题

三、解答题

(★★★)17.已知.

(1)求方程的解集；

(2)求函数在上的单调增区间.

(★★★)18.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.

(1)证明：平面；

(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.

(★★★)19.许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为，每次套娃娃费用是10元.

(1)记随机变量为小朋友套娃娃的次数，求的分布列和数学期望；

(2)假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.

(★★★★)20.设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；

(3)设直线的方程为，且，求的取值范围.

(★★★★★)21.设定义域为的函数，对于，定义

(1)设，求；

(2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；

(3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，．若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”．