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数学代数式的定义、应用及例题解析

一、代数式的定义

代数式是由数、表示数的字母通过有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、

开方）连接而成的数学表达式，或单独的一个数、字母。

核心特征：

1.运算符号：仅包含加、减、乘、除、乘方、开方，不含等号（）、

不等号（≠、≤、≥等）。

2.形式：可以是单项式（如）、多项式（如）、分

式（如）或根式（如）。

3.特殊符号：允许绝对值符号（如），但不可含逻辑符号（如≈、

≡）。

示例：

（线性组合）

（根式组合）

（分式）

二、代数式的分类

根据运算类型和结构，代数式可分为：

1.有理式：仅含加、减、乘、除和整数次乘方运算。

整式：无除法运算（如）。

单项式：单独一个数或字母（如）。

多项式：多个单项式的和（如）。

分式：含除法运算（如）。

2.无理式：含根式或非整数次幂（如、）。

三、代数式的应用

1.几何问题

面积与体积计算：用代数式表示图形参数。

例：长方形长为，宽为，面积为；若长增加，新面积

为。

几何证明：通过代数式简化几何关系。

2.实际问题建模

价格与数量：如总费用（为商品A数量，为商

品B数量）。

运动学问题：路程（为速度，为时间）。

3.方程与函数

方程求解：如解方程，得。

函数表达式：如一次函数。

4.数据与统计

平均值计算：。

增长率模型：如复利公式。

四、代数式的运算规则

1.合并同类项：

例：。

2.去括号：

括号前为“+”：直接去括号，符号不变（如

）。

括号前为“-”：变号后去括号（如）。

3.代入求值：

例：若，求的值：

2

解：3×2−2×2+1=9

五、典型例题与解析

例题1：列代数式

题目：长方形的长为米，宽比长短米，求面积和周长。解析：

宽为。

面积：。

周长：。

例题2：化简代数式

题目：化简。解析：

1.分解分子：