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高数中dy的详细定义、意义及应用例题解析

一、dy的严格数学定义

微分（Differential）是函数在某一点附近变化的线性近似，其定义基于导

数的存在性。

定义：设函数在点的某邻域内有定义，若存在常数

，使得当自变量增量时，函数的增量

可表示为：

其中是比高阶的无穷小，则称函数在处可

微，称为的微分。

关键性质：当可微时，，因此微分可写为：

=(

二、微分的几何意义

1.切线近似：

微分是函数曲线在点处切线的纵坐标变化量。

实际变化量与微分的误差为，当

时，误差趋近于零。

2.局部线性化：

微分将曲线在局部范围内用直线近似，简化复杂函数的分析。例

如，计算时，用切线近似代替曲线计算。

三、微分的严格条件与可微性

1.可微的充要条件：

函数在处可微的充要条件是它在该点可导，且导数为

。

证明：

若在处可导，则，

满足可微定义。

反之，若可微，则，取极限得

。

2.可微与连续的关系：

可微必连续，但连续不一定可微。例如，在

处连续但不可微。

四、微分的进阶应用

1.隐函数求导

问题：求由方程确定的隐函数的微分。

解法：对两边微分，得，解得。

2.参数方程微分

问题：参数方程，，求。

2

33

解法：===

22

3.高阶微分

定义：微分算子可逐次应用，如二阶微分。

示例：对一阶微分：，

二阶微分：。

4.泰勒展开

微分在泰勒公式中的作用：泰勒展开式中的线性项即为微分近似

五、更复杂的应用例题

例题1：物理中的速度与加速度

题目：已知位移函数，求时的速度和加速度。

解析：

1.速度。

2.加速度。

3.代入：

