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高中数学三角函数试题分类汇编

引言

三角函数作为高中数学的重要组成部分，其概念抽象，公式繁多，应用广泛，既是高考考查的重点内容，也是同学们学习的难点所在。掌握三角函数的核心知识与解题方法，对于提升数学综合能力至关重要。本汇编旨在通过对三角函数常见试题类型的梳理与解析，帮助同学们系统回顾相关知识，明晰解题思路，提升应试技巧。汇编内容力求贴近高考实际，注重基础性与综合性的结合，希望能为大家的复习备考提供有益的参考。

一、三角函数的基本概念与定义

1.1任意角的三角函数定义

本部分主要考查利用任意角三角函数的定义（包括终边上点的坐标定义和单位圆定义）求解三角函数值、判断三角函数符号，以及处理与终边相同的角、象限角相关的问题。

例题1：已知角α的终边经过点P(-3,4)，求sinα、cosα、tanα的值。

解析：根据三角函数的定义，设点P(x,y)，则r=√(x2+y2)。对于点P(-3,4)，r=√[(-3)2+42]=5。于是，sinα=y/r=4/5，cosα=x/r=-3/5，tanα=y/x=-4/3。

例题2：若sinθ0且tanθ0，则角θ所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解析：sinθ0，则θ的终边在第一或第二象限，或y轴正半轴；tanθ0，则θ的终边在第二或第四象限。取交集可知，θ在第二象限。答案选B。

1.2同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系主要指平方关系（sin2α+cos2α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα）。这类题目常涉及已知一个三角函数值求其他三角函数值，或进行三角函数式的化简与证明。

例题3：已知sinα=3/5，且α为第二象限角，求cosα和tanα的值。

解析：由平方关系sin2α+cos2α=1，可得cos2α=1-sin2α=1-(3/5)2=16/25。因为α为第二象限角，cosα0，所以cosα=-4/5。进而tanα=sinα/cosα=(3/5)/(-4/5)=-3/4。

例题4：化简：(1-sin2θ)tanθ。

解析：利用平方关系1-sin2θ=cos2θ，原式可化为cos2θ*(sinθ/cosθ)=sinθcosθ。

1.3诱导公式

诱导公式的核心是“奇变偶不变，符号看象限”，用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。考查形式多为直接利用公式进行化简、求值。

例题5：计算sin(3π/2-α)+cos(π+α)。

解析：根据诱导公式，sin(3π/2-α)=-cosα，cos(π+α)=-cosα。因此，原式=-cosα+(-cosα)=-2cosα。

例题6：已知cos(π/6-α)=1/3，求sin(2π/3-α)的值。

解析：注意到2π/3-α=π/2+(π/6-α)。令β=π/6-α，则sin(2π/3-α)=sin(π/2+β)=cosβ=cos(π/6-α)=1/3。

二、三角函数的图像与性质

2.1三角函数的图像及其变换

掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性等）是解决此类问题的基础。同时，函数y=Asin(ωx+φ)+B（或y=Acos(ωx+φ)+B）的图像与参数A、ω、φ、B的关系，以及图像的平移、伸缩变换，也是考查的重点。

例题7：函数y=2sin(3x-π/4)的最小正周期是______，振幅是______。

解析：对于函数y=Asin(ωx+φ)，最小正周期T=2π/|ω|，振幅为|A|。故本题中，T=2π/3，振幅为2。

例题8：函数y=sinx的图像经过怎样的变换可以得到函数y=sin(2x+π/3)的图像？

解析：方法一（先平移后伸缩）：将y=sinx的图像向左平移π/3个单位，得到y=sin(x+π/3)的图像；再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2（纵坐标不变），得到y=sin(2x+π/3)的图像。

方法二（先伸缩后平移）：将y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2（纵坐标不变），得到y=sin2x的图像；再将所得图像向左平移π/6个单位（因为2(x+π/6)=2x+π/3），得到y=sin(2x+π/3)的图像。

2.2三角函数的定义域与值域

求解三角函数的定义域，需考虑分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大