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郫都区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题高一半期

数学答案

选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

A

C

B

A

D

C

B

B

AC

ABD

ABD

12、1；13、；14、

15、（1）因为，，都是正数，由基本不等式可得，

（当且仅当时，等号成立），…………2分

（当且仅当时，等号成立），…………4分

（当且仅当时，等号成立），…………6分

所以（当且仅当时，等号成立)…………7分

（没写等号成立条件，一个扣1分）

（2）由函数的定义域为，得，恒成立，………9分

当时，恒成立，则；………10分

当时，，解得，………………12分

综上，实数的取值范围是.………………13分（不进行分类讨论，直接写得2分）

16、（1）解不等式，得：，………2分

故，，

又因为且，

所以或，……………5分

故.…………7分

（2）“”是“”的必要条件等价于.…………9分

，。

当时，，满足；…………11分

当时，由，得：，

解得：.………………13分

综上：.………………………15分

17、（1）由题可知，天平两臂不等长，则，

设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，…………………2分

，，

，…………………5分

当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.…6分

因此，顾客购得的黄金大于.……………7分

设第一次购买黄金时的价格为，第二次购买黄金时的价格为元/kg，

按第一种方案购买黄金，两次购买黄金的平均价格为；………9分

若按第二种方案购买黄金，第一次能购克黄金，第二次能购克黄金，

两次购买黄金的平均价格为.；……………………11分

比较两次平均价格：.

又因为，所以…………………14分

所以第一种方案的平均价格高于第二种方案的平均价格，因而用第二种方案购买黄金成本更低……15分

18、（1）解：当，即时，，

当当，即或时，，

所以，…………5分

函数图象如图所示：

…………8分

（2）解：由（1）可得，函数在上递减，在上递增，

当时，函数在上递减，

所以，解得或（舍去），…………………13分

当时，函数在上的最小值为，解得，………16分

综上实数的取值集合为.…………17分

19、（1）因为函数是定义在上的奇函数，

，即，又，即，

经检验，该函数为奇函数，

故.………………4分

（2）在上单调递增，

证明如下：

任取，

其中，所以，

故在上单调递增.……………8分

（3）

由题易知，为方程的一个根，

则方程有两不相等实根，

，即方程有两不相等实根，

因为函数上单调递减，上单调递增，所以，,

所以当，即时，恰有三不相等实根；…………12分

因为与的图像都关于（2,0）中心对称，又因为，

则，,

所以,

当且仅当时，等号成立,

所以的取值范围为，.……17分

(或者利用的关系式，进行消元后求解，其他解法，酌情给分！)