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空间立体几何体截面题解析

在高中立体几何的学习中，截面问题是一个既基础又富有挑战性的内容。它不仅考察我们对空间几何体结构特征的理解，更考验我们的空间想象能力和逻辑推理能力。许多同学在面对这类问题时，常常感到无从下手，或者因考虑不周而导致错误。本文将从截面的基本概念出发，结合实例，探讨解决截面问题的一般思路与方法，希望能为同学们提供一些有益的启示。

一、截面的概念与基本性质

首先，我们需要明确什么是截面。简单来说，截面是指一个平面与一个空间几何体相交，所得到的交线围成的平面图形。这个平面称为截平面，交线则构成了截面的边界。

理解截面，必须牢牢把握其本质：截面是一个平面图形。这意味着，无论多么复杂的几何体，其截面的边缘必然是由直线段（或曲线段，对于旋转体而言）构成的平面多边形（或平面图形）。对于多面体，由于其表面由平面多边形构成，因此截面也必然是一个平面多边形，其边数取决于截平面与几何体相交的面数。

作出截面的理论依据，源于平面的基本性质：

1.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（即交线）。

2.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

3.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

这些基本性质是我们解决截面问题的“金钥匙”，尤其是前两条，在确定截面的顶点和边界时经常用到。

二、作截面的常用方法与思路

解决截面问题，核心在于确定截面与几何体各表面的交线，从而勾勒出截面的形状。以下是几种常用的作截面的思路与方法：

（一）利用“有公共点的平面必相交于过该点的直线”

当我们知道截平面经过几何体表面上的几个点时，可以通过连接这些点（如果它们在同一个平面上）或寻找截平面与几何体棱的交点来确定交线。

例1：已知正方体ABCD-A?B?C?D?，E、F分别为棱AB、AD的中点，试过点C?、E、F作正方体的截面。

分析与作法：

1.确定已知点：E在面ABCD上，F在面ABCD上，C?在面A?B?C?D?上。

2.连接共面已知点：E、F都在面ABCD内，连接EF，EF即为截面与面ABCD的交线。

3.寻找截平面与其他棱的交点：延长EF，分别与CB、CD的延长线交于点P、Q（这一步利用了平面的无限延展性）。

4.连接新交点与已知点：连接C?P，交B?B于点M；连接C?Q，交D?D于点N。此时，点M、N也为截面与正方体棱的交点。

5.顺次连接各交点：连接E、M、C?、N、F。五边形EMC?NF即为所求截面。

在这个例子中，我们通过延长已知交线，找到截平面与几何体其他棱的交点，从而完整地确定了截面的边界。这种方法在处理较为复杂的截面时尤为有效。

（二）利用“平行线的传递性”

如果几何体中存在平行的棱或面，截平面与这些平行面相交，所得的交线也必然平行。这一性质可以帮助我们快速确定截面的某些边。

例2：在正方体ABCD-A?B?C?D?中，E为棱A?B?的中点，试过点E作一个平面平行于平面BDC?，并判断截面的形状。

分析与作法：

1.理解题意：要作的截面平面需与平面BDC?平行。根据面面平行的性质，截面与正方体各表面的交线应分别与平面BDC?和正方体对应表面的交线平行。

2.确定平行关系：在正方体中，BD平行于B?D?，C?B平行于A?D，C?D平行于A?B。

3.寻找关键点：点E在A?B?上。考虑过E作与BD平行的直线，由于BD平行于B?D?，故过E作直线平行于B?D?，分别交A?D?于F，B?C?于G。

4.依据平行确定其他边：再过F作A?D的平行线，交DD?于H；过G作C?B的平行线，交CC?于I。连接EH、EI（此处可验证EH平行于C?D，EI平行于C?B）。

5.判断截面形状：连接各点后，可以发现截面EFGHI是一个正五边形吗？不，仔细分析会发现，其实在正方体中，这样作出的截面应该是一个菱形，或者更准确地说，是一个平行四边形。（此处需结合具体作图和正方体棱长关系判断，核心在于利用平行线确定交线方向）。

这个例子展示了如何利用几何体本身的平行关系来辅助确定截面的形状和位置。

三、解题要点与技巧

1.明确目标：首先要清楚题目要求作的截面经过哪些点，或者具有什么特殊性质（如平行于某条直线、垂直于某个平面等）。

2.回归定义与性质：时刻牢记截面的定义——平面与几何体的交线所围成的图形。灵活运用平面的基本性质（三公理三推论）是解决问题的基础。

3.善用辅助平面与交线：当直接连接已知点无法得到完整截面时，要大胆地利用辅助平面（如几何体的表面、过已知点的特殊平面），通过寻找交线来确定截面的顶点。延长线是常用的手段，目的是将空间问题转化为平面问题。

4.空间想象与平面作图结合：虽然是空间问题