流体力学流体运动学.pptVIP

Q点速度按泰勒级数展开，并略去二阶向量以上的各项，在此则（1）由上式可见，Q点的速度可以用P点的速度及九个速度分量的偏导数来表示。第31页，共69页，星期日，2025年，2月5日用上列类似的配项方法，其余二式得：上式的第一式右方加减及并重新加以组合得：，第32页，共69页，星期日，2025年，2月5日为了简化起见，引用下列符号：代入前式，则(2)上式即为流体微团的速度分解公式，亦称亥姆霍兹(Helmhotz)速度分解定理。第33页，共69页，星期日，2025年，2月5日二、微团运动的组成分析从形式上看，速度分解定理把比较简单的式（1）变为结果反而更复杂的式（2），但这不是没有原因的。为了便于讨论，仅以二维流动为例来分析矩形微团ABCD的运动，设微团的边长为dx及dy，A点的速度（ux，uy），按二元泰勒级数展开（忽略二阶以上微量）得微团ABCD各点的速度分量：A点坐标(0,0)速度（ux，uy）第34页，共69页，星期日，2025年，2月5日x方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度C点坐标（dx,0）即h＝dx，k＝0x方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度B点坐标（0，dy）即h＝0，k＝dy第35页，共69页，星期日，2025年，2月5日第36页，共69页，星期日，2025年，2月5日D点坐标（dx,dy）即h＝dx，k＝dyx方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度设流体微团从初始位置ABCD，经过dt时间后，矩形平面ABCD将变成A1B′D′C′的形状和位置。第37页，共69页，星期日，2025年，2月5日点x方向的速度分量y方向的速度分量ABCD各点各方向速度分量第38页，共69页，星期日，2025年，2月5日整个变化过程可以看作是由以下几种基本运动形成所组成。1、平移运动A点的速度分量ux，uy是矩形微团其它各点相应速度分量的组成部分。若不考虑B、C、D各点的速度与A点相差部分，则经过dt时间后，微团平移到新的位置A1B1D1C1，其形状及大小没有改变。由此可知ux、uy是微团在x、y方向的平移速度。同理，对于空间流场，ux、uy、uz为平移速度。第39页，共69页，星期日，2025年，2月5日在x方向上C点速度分量要比A点大(?ux/?x)dx；D点比B点大(?ux/?x)dx。故边长AC和BD在x方向要拉长（或缩短）(?ux/?x)dxdt（拉长为正，缩短为负），即A1C1拉长到A1C2，B1D1拉长到B1D2。同理，边长AB和CD在y方向拉长（缩短）均为(?uy/?y)dydt。2、变形运动（1）线变形线变形是直线线段单位长度单位时间的线变形。由于矩形微团ABCD各角点在x方向的速度分量的不相同。第40页，共69页，星期日，2025年，2月5日线变形(线变形速率)为(3)同理这里称εxx为微团在x方向的线变形或线变率，εyy为y方向的线变形，εzz为z方向的线变形。由于线变形使微团ABCD变成A1B2D2C2。第41页，共69页，星期日，2025年，2月5日（2）角变形如图，因C点在y方向的速度分量比A点在y方向的速度分量有增量(?uy/?x)dx，使AC边，即A1C2边逆时针偏转dα角。同理B点在x方向比A点在x方向有速度增量(?ux/?y)dy，使AB边，即A1B2边顺时针偏转dβ角。考虑到dα和dβ是很小的角，所以：第42页，共69页，星期日，2025年，2月5日分母中第二项与第一项比是高阶微量，可略去不计，于是：因此，A1C2边和A1B2边的旋转角速度分别为第43页，共69页，星期日，2025年，2月5日通常把微团的旋转角速度之和的一半称为角变形(角变形速率)。角变形同理εxy表示微团在xoy平面上的角变形，或称为绕z轴的剪切角速度。绕x轴的剪切角速度绕y轴的剪切角速度上式说明角变形是流体微团中某一直角减少速度的一半。第44页，共69页，星