自动控制原理课件 4.2 根轨迹绘制的基本法则.pptxVIP

自动控制原理4.2根轨迹绘制的基本法则(1)主讲人：

相角条件模值条件适用的范围：负反馈系统中开环参数K*变化时的常规根轨迹的绘制。根轨迹方程基于的条件：

根轨迹的起点和终点1根轨迹的起点：的根轨迹上点的s值。根轨迹的终点：的根轨迹上点的s值。起点=开环极点终点=开环零点规律：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。证明：闭环特征根方程根轨迹方程

法则1应用：通过开环极点和开环零点确定根轨迹的起点和终点；开环极点数n大于零点数m时，有(n-m)条根轨迹的终点在无穷远处。实际系统中，考虑电路的实现性，一般开环极点数大于开环零点数，即nm时，则有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处，的确，当时，代入模值条件得如果把有限值的零点称为有限零点，而把无穷远处的零点叫做无限零点。则nm时，会有n-m条根轨迹趋向于无穷远处的无限零点。结论：根轨迹的起始于开环极点，终止于开环零点

规律：根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。根轨迹的分支数、对称性和连续性2由根轨迹的定义：开环系统的参数K*从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上变化的轨迹。可知根轨迹的分支数与闭环特征根的数目一致。闭环特征根的数目是闭环特征方程的最高阶数，即开环零点数m和极点数n中的大者。1)根轨迹分支数＝闭环特征根个数=max(n,m)。证明：闭环特征根方程：

63）连续性：闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益K*的函数，当K*从零到无穷大连续变化时，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征方程的根变化也必然是连续的，故跟轨迹有连续性。法则2应用：确定根轨迹的条数，绘制根轨迹时只需绘出上半s平面的根轨迹部分，然后利用对称性对称画出下半s平面的根轨迹部分。2）对称性：线性定常系统的闭环特征方程的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是根的集合，因此根轨迹对称于实轴。

根轨迹的渐近线3渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的夹角：规律：当开环有限极点数n大于开环有限零点数m时，则有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点为、夹角为的一组渐近线趋向无穷远处。

(1)渐近线与实轴的交点设无穷远处有闭环极点s*，认为开环零点zj和极点pi指向s*的向量长度都相等。代入模值条件根轨迹的渐近线3证明：

(2)渐近线与实轴的夹角设无穷远处有闭环极点s*，认为开环零点zj和极点pi指向s*的向量角都相等。代入相角条件根轨迹的渐近线3法则3的应用：通常当n-m0时，用法则3寻找趋向无穷远处根轨迹的渐近线。如果结合法则2，考虑根轨迹的对称性，渐近线也是关于实轴对称的，所以当n-m1时，即渐近线多于1条时（等于1条时，在实轴上），再求渐近线。

若实轴上的s点为根轨迹上的点，则应满足相角条件结论：当s是实轴上的点时，只有其右边的开环实极点和实零点与s所成角度为180°，其余均为0°。根轨迹在实轴上的分布4s与左侧实零点、极点所成相角：s与右侧实零点、极点所成相角：ss与复数开环零点、极点所成相角：

法则4的应用：实轴被实数开环零点、开环极点划分为多个区间，从右至左无根轨迹的区间和有根轨迹的区间交替出现。结论：若s为根轨迹的点，则：m-n为奇数代入相角条件，得设实轴上有m个开环实零点、n个开环实极点在s的右边m+n为奇数规律：实轴上的某一个区域，若其右边的开环实零点数与开环实极点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：

已知负反馈控制系统的开环传递函数为试根据已知的四个基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。解：首先将开环极点0、-4、-1+j、-1-j和开环零点-1标注在s平面上。(1)法则1：起始于4个有限开环极点，终止于1个有限开环零点和3个无限零点；(2)法则2：有4条连续的根轨迹分支，且关于实轴对称；(3)法则3：3条根轨迹的渐近线与实轴交点坐标、与实轴正方向的夹角;(4)法则4：实轴上区域[0,-1]和[-4,-∞)为根轨迹。×0-1-2-3-4123j-1-2-3×××根轨迹绘制法则的应用1例

法则1：根轨迹的起点和终点小结法则3：根轨迹的渐近线法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性法则4：根轨迹在实轴上的分布

自动控制原理4.2根轨迹的绘制法则(2)主讲人：王毅

分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为分离点。分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角，称为分离角。分离点坐标d：根轨迹的分离点与分离角5分离角θd：根轨