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3.4：函数的应用（一）

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点一一次函数模型

形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.

知识点二二次函数模型

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．

知识点三幂函数模型

1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．

2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

【例题详解】

题型一、二次函数模型

【例1】．（25-26高一上·吉林白城）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件．

(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．

【答案】(1)

(2)35元

【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；

（2）由二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由题意得，销售量，

则．

（2）．

∵，∴函数图象为开口向下的抛物线，w有最大值，

又∵对称轴为直线，∴当时，，

故当单价为35元时，该文具每天的利润最大．

【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种：

方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；

方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式

(2)哪种方案较为合理？并说明理由.

【答案】(1)

(2)方案二合理，理由见解析

【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式；

（2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论.

【详解】（1）根据题意可得，

则方案一中与的函数关系式为：；

（2）方案一：，

当时，总盈利额取得最大值90万元，

此时处理掉设备，则总利润为万元；

方案二：由（1）可得年平均利润额为

，

当且仅当即时等号成立，

即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元，

此时处理掉设备，则总利润为万元；

综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，

故方案二合理.

【跟踪训练2】．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资）

(1)试写出y与x之间的函数关系式；

(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系.

（2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得.

【详解】（1）依题意，年销量为（万件），

所以.

（2）由（1）知，，当时，，

即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资，

因此第二年的销售单价应定元，年获利万元，

，而，

即，整理得，解得，

所以第二年的销售单价的范围是.

题型二、分段函数模型

【例2】．（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.

(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）

(2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式；

(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？

【答案】(1)200万元

(2)

(3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利