平面几何中圆与直线距离问题定理及应用分析.pdfVIP

也谈一个圆的问题的一般结论

文献[1]第38页倒数第三行至第39页介绍了一个圆的问题的一般结论(共五种情形)，但

介绍的只是rm的情形，而一般的结论应当是(通过画图可得此结论，也可参见专著[2]第

35页)：

定理设半径为r(r0)的圆C的圆心C到直线l的距离为资*源%库d(d0)，若圆C

上有且仅有n(nN)个点到直线l的距离为定值m(m0)，则

(1)若n0,则r的取值范围是(0,m−d)(约定：当md时，它表示Ø)；

(2)若n1,则r的取值范围是m−d(0,+)；



(3)若n2,则r的取值范围是(m−d,m+d)；

(4)若n3,则r的取值范围是m+d；



(5)若n4,则r的取值范围是(m+d,+)；

(6)若n5,则r的取值范围是Ø.

当md时，可结合图1记住该定理.

图1WWWzyunucom

图1与下面的图2也是类似的：由图$来源：zyuankucom2容易记住两圆位置关系的判断条件(其中d表

示圆心距，R,r分别表示两Zyuankucom圆的半径)(可见专著[2]第102页或文献[3]).

图2

例1(普通高中课程《数学2·必修·A版》(人民教育社2007年

第3版)第133页第3题)已知圆x2+y24，直线l:yx+b.当b为何值时，圆x2+y24

上恰有3个点到直线l的距离都等于1.

b

解2

用定理(4)来求解：得r2,d,n3,m1，所以由rm+d，得b.

2

例2在圆x2+y2+2x+4y−30上到直线x+y+10的距离为2的点共有个.

解3.用定理来求解：可得r22,dm，由rm+d，得n3.

例3(2010年高考江苏卷第9题)在平面直角坐标系中，已知圆x2+y24上有

且只有四个点到直线12x−5y+c0的距离为1，则实数c的取值范围是.

c

解(−13,13).用定理(5)来求解：得r2,d,m1,n4，所以由rm+d，得

13

−13c13.

例4若圆(x−3)2+(y−5)2r2上有且只有两个点到直线4x−3y2的距离

为1，则半径r的取值范围是.

解(4,6).用定理(3)来求解：得d5,m1,n2，所以由d−mrd+m，得

4r6.

例5(2010年大学自主数学试题第5题资*源库zyuankucom来源：zyunkucom)