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完全平方公式常考题型

完全平方公式作为代数运算的基石，在初中数学乃至更高阶段的学习中都占据着举足轻重的地位。其核心形式`(a+b)2=a2+2ab+b2`与`(a-b)2=a2-2ab+b2`看似简单，实则变化万千，能够衍生出多种灵活的考查方式。本文将系统梳理完全平方公式的常考题型，通过典型例题的剖析，帮助读者深入理解公式本质，掌握解题技巧。

一、直接套用公式的基础计算

直接套用公式是完全平方公式最基本的考查形式，旨在检验对公式结构的记忆与初步应用能力。这类题目通常给出明确的两项式，要求展开计算。

例题1：计算`(3x+2y)2`

解析：直接对应公式`(a+b)2=a2+2ab+b2`，其中`a=3x`，`b=2y`。

原式=`(3x)2+2·(3x)·(2y)+(2y)2`=`9x2+12xy+4y2`。

例题2：计算`(5m-4n)2`

解析：对应公式`(a-b)2=a2-2ab+b2`，其中`a=5m`，`b=4n`。

原式=`(5m)2-2·(5m)·(4n)+(4n)2`=`25m2-40mn+16n2`。

解题关键：准确识别公式中的“a”与“b”，它们可以是单项式，也可以是多项式，运算时需注意符号的正确性，尤其是`(a-b)2`展开后的中间项为负。

二、公式的逆用与变形技巧

对公式的深刻理解不仅体现在正向应用，更在于灵活逆用。逆用完全平方公式是进行因式分解、化简求值的重要手段。

（一）直接逆用判断完全平方式

例题3：下列多项式中，是完全平方式的是（）

A.`x2+2x-1`B.`x2-xy+y2`C.`m2-4m+4`D.`4a2+2ab+b2`

解析：完全平方式需满足“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的结构特征。选项C中，`m2-4m+4=m2-2·m·2+22=(m-2)2`，符合完全平方式定义，故选C。

（二）配方思想的应用

将二次三项式通过添加常数项转化为完全平方式，是解决最值问题、方程求解的常用策略。

例题4：将代数式`x2+6x+5`配方成`(x+m)2+n`的形式。

解析：`x2+6x+5=x2+6x+9-9+5=(x+3)2-4`，其中`m=3`，`n=-4`。

技巧总结：配方时，取一次项系数一半的平方，添加后需同时减去以保持代数式值不变。

三、公式的综合应用与拓展

（一）与代数式求值结合

已知`a±b`与`ab`的值，求`a2+b2`或`(a-b)2`等代数式的值，是中考高频考点。

例题5：若`x+y=5`，`xy=3`，求`x2+y2`的值。

解析：由完全平方公式变形可得`x2+y2=(x+y)2-2xy`，代入已知条件得`52-2×3=25-6=19`。

（二）与几何图形结合

完全平方公式的几何意义常通过图形面积拼接进行考查，体现数形结合思想。

例题6：如图，大正方形边长为`a+b`，由两个小正方形和两个长方形组成，利用面积关系验证完全平方公式。

解析：大正方形面积`(a+b)2`，同时等于两个小正方形面积`a2+b2`与两个长方形面积`2ab`之和，即`(a+b)2=a2+2ab+b2`，直观验证了公式的正确性。

（三）与平方差公式混合运算

例题7：计算`(a+b)2(a-b)2`

解析：可先逆用积的乘方公式变形为`[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a?-2a2b2+b?`，体现公式间的灵活转化。

四、易错点警示与避坑指南

1.符号混淆：`(a-b)2=a2-2ab+b2`，中间项为负，尾项仍为正，切勿写成`a2-b2`。

2.系数漏平方：计算`(2x+3y)2`时，易误写为`4x2+6xy+9y2`，正确结果应为`4x2+12xy+9y2`，注意中间项系数需乘以2。

3.整体代换意识薄弱：对于`(a+b+c)2`类型的展开，需将其中两项视为整体，如`[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2`，再逐步展开。

实战演练：典型例题精析

例题8：已知`(m-n)2=8`，`(m+n)2=2`，求`m2+n2`与`mn`的值。

思路梳理：

将两式展开：

①`m2-2mn+n2=8`

②`m2