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2025年初中数学代数难题解析与训练试卷

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、填空题（每小题4分，共20分）

1.已知实数x满足x2-4x+1=0，则x2+(1/x)2的最小值是________。

2.解关于x的方程(a-1)x+2=ax+3，若方程有无数解，则a的值等于________；若方程的解为x=-1，则a的值等于________。

3.已知函数f(x)=x2+mx+n，若f(1)=0且f(x)≥0对所有x∈R恒成立，则m的取值范围是________，n的取值范围是________。

4.若x=2是函数g(x)=x3-px+q的极值点，则pq的值等于________。

5.已知a，b是方程x2-2x-3=0的两根，则(a2+1)(b2+1)的值等于________。

二、选择题（每小题5分，共25分）

1.设函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值等于（）

A.3B.2C.1D.-1

2.已知x?，x?是方程2x2+4x-3=0的两根，则x?2+x?2等于（）

A.10B.7C.5D.-4

3.不等式|2x-1|x+1的解集是（）

A.(-∞,-1)∪(3/2,+∞)B.(-1,3/2)C.(-∞,-1)∪(-1,3/2)D.(-1,3/2]

4.若实数x满足x2+2x+3≥0且x3-x0，则f(x)=x3+ax+1在区间[-2,2]上的最小值等于（）

A.-1B.0C.1D.2

5.已知关于x的方程x2-kx+k2-1=0总有一个根在区间(1,2)内，则实数k的取值范围是（）

A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

三、解答题（共55分）

1.（10分）已知a，b，c是三角形ABC的三边长，且满足a2+b2-c2=ab。求证：角C是锐角。

2.（10分）已知函数f(x)=x2-2ax+2a+1。

(1)若函数f(x)在区间[-1,3]上的最小值为3，求实数a的值。

(2)若方程f(x)=0在区间(-1,3)内恰有一个实数根，求实数a的取值范围。

3.（10分）解不等式组：(1)(x-1)(x+3)0；(2)|x-2|≤3。并在数轴上表示其解集。

4.（10分）已知实数x，y满足x2+y2-2x+4y=0。

(1)求xy的取值范围。

(2)求x2+y2的最小值。

5.（15分）已知关于x的方程x2-(m+2)x+(m+5)=0。

(1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

(2)设方程的两根分别为x?，x?，若x?2+x?2=10，求m的值。

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试卷答案

一、填空题（每小题4分，共20分）

1.10

2.2；-2

3.[-4,0)；[0,+∞)

4.-4

5.10

二、选择题（每小题5分，共25分）

1.A

2.A

3.B

4.A

5.C

三、解答题（共55分）

1.证明：

解析思路：利用余弦定理求解。由题意得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2。由于角C是三角形内角，所以0Cπ。因此，cosC0，可得角C是锐角。

2.解：

(1)解析思路：根据二次函数图象与性质求解。函数f(x)=x2-2ax+2a+1的对称轴为x=a。分情况讨论：

①若a≤-1，则f(x)在[-1,3]上单调递增，最小值在x=-1处取得，f(-1)=4+a=3，解得a=-1。

②若a≥3，则f(x)在[-1,3]上单调递减，最小值在x=3处取得，f(3)=9-6a+2a+1=10-4a=3，解得a=7/4，但a=7/43，此情况不成立。

③若-1a3，则f(x)在[-1,3]上的最小值在x=a处取得，f(a)=a2-2a2+2a+1=