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人大附中2025-2026学年第一学期高一年级期中练习
数学参考答案
第Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
B
D
A
A
A
A
D
D
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11.【答案】因为，，
因为，
所以.
所以，所以.
故答案为：.
12.【答案】函数的对称轴为，
在区间上是单调函数，
所以或者，
解得或者.
故答案为：
13.【答案】因为，所以，
所以，
，
设，则，
，
此时，
所以具有“交换结合”性质，
故答案为：（答案不唯一）
14.【答案】设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米，
由且，可得.
设矩形菜园的面积为，则.
当且仅当时，等号成立，
故矩形菜园面积的最大值为平方米.
故答案为：.
15.【答案】①当时，令，解得，
当时，令，解得，
综上，方程的解集是；
②当时，，
当时，，
当时，，
综上得：，
所以，
由于当时，为增函数，且，
故存在唯一的使得；
当时，为减函数，且，
故存在唯一的使得；
又，
综上，的零点个数为3.
故答案为：.
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16.【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解.
（2）根据题意，转化为方程的两个不相等的负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解.
（1）
当时，函数，
因为?的解集为，且，
即是方程的两个实数根，可得，
则.
（2）
因为?的解集为，且，
即是方程的两个实数根，
又因为，即方程的两个不相等的负实数根，
则满足，解得且，
所以实数的取值范围为.
17.设全集，，．
（1）当时，求；
（2）若对于任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）解分式不等式得集合A，根据补集与交集运算得答案即可；
（2）根据已知可得，讨论当，，时满足列不等式即可得实数的取值范围．
（1）
，
当，则，
所以，则；
（2）
对于任意，都有，则，
当时，，此时满足；
当时，，
要满足，则，解得；
当时，，
要满足，则，解得；
综上，实数的取值范围为.
18.设是实数，函数．
（1）若函数是奇函数，求的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）已知函数，函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【分析】（1）由奇函数的定义可求解；
（2）利用单调性的定义可证明函数在区间上单调递增；
（3）对任意的使得成立，可得gx1max≤t?2g
【小问1详解】
函数是奇函数，定义域为．
，即，即；
（2）
函数在区间上单调递增，证明如下：
设且，
，
∵12
，∴函数在区间上单调递增；
（3）
由题可知：，定义域为，
因为对任意的使得成立，
gx
令，由（2）知函数在上单调递增，
同理可得在递增，在递减，在递减，
，，
，
.
第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）
一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19.设函数的定义域为，则“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据条件，由函数零点的定义及单调性的定义，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】当时，，
若函数为上的减函数，则fx+afx，所以y=f
函数无零点，
所以是上的减函数可推出对于任意实数，函数无零点，
若对于任意实数，函数无零点，则或恒成立，
所以可能是上的增函数，
即对于任意实数，函数无零点推不出是上的减函数，
所以“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的充分不必要条件，
故选：A.
20.已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（1），；
（2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素．
则有序集合对的个数为（）
A.1 B.2 C.4 D.6
【答案】B
【分析】根据已知条件，按集合中得元素个数进行分类讨论.
【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有3个元素，且，，所以，，此时有序集合对有1
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