第七章随机变量的数字特征.pptVIP

例:抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).从而由期望的性质可得练习第30页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差引例有两批钢筋(每批10根)它们的抗拉强度为：第一批110,120,120,125,125,125,130,130,135,140第二批90,100,120,125,125,130,135,145,145,145可以计算出两批数据的平均数都是126,但直观上第二批数据与平均数126有较大的偏离因此,欲描述一组数据的分布,单单有中心位置的指标是不够的,尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标.通常可用E[X-E(X)]2描述相对于期望的偏离第31页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差一、方差的定义定义设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2存在，则称E[X-E(X)]2为X的方差，记为D(X)，即:D(X)=E[X-E(X)]2注释：(1)方差是随机变量X与其“中心”E(X)的偏差平方的平均。它表达了X的取值与其期望值E(X)的偏离程度。若X取值较集中，则D(X)较小，反之，若取值较分散，则D(X)较大。(2)应用上，常用量，称为标准差或均方差，记为?(X)=。第32页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差二、方差的计算公式方差实际上是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.于是(1)对于离散型随机变量X,若P{X=xk}=pk,k=1,2,…则(2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为f(x),则第33页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差二、方差的计算公式(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2证明：D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2-2X·E(X)+[E(X)]2)=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2第34页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差三、常见分布的方差1.（0-1）分布的方差定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,则D(X)=pq.证明X01Pqp第35页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差三、常见分布的方差2.二项分布的方差定理:若随机变量X服从二项分布X~B(n,p),则D(X)=npq.证明第36页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差三、常见分布的方差3.泊松分布的方差定理：设随机变量X服从泊松分布X~P(λ),则D(X)=λ.证明第37页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差三、常见分布的方差4.均匀分布的方差定理:设随机变量X服从均匀分布X~U(a,b),则D(X)=(b-a)2/12.证明第38页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差三、常见分布的方差5.指数分布的方差定理:设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则证明第39页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差三、常见分布的方差6.正态分布的方差定理:设随机变量X服从正态分布X~N(μ,σ2),则D(X)=σ2证明第40页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差常见分布的期望和方差表第41页，共84页，星期日，2025年，2月5日7.2方差和标准差四、方差的性质假定以下所遇到的随机变量的方差存在:(1)设C是常数，则D(C)=0；(2)设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X),从而D(aX+b)=a2D(X)；(3)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X?Y)=D(X)+D(Y)；(2)证:D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}=E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}=E{[aX-E(aX)]2}=E{[a(X-E(X))]2}=a2E{[X-E(X)]2}=a2D(X