高数习题课中邻域与确界概念.pdfVIP

一.邻域:

a为给定的实数，0，称区间(a−,a+)为a

的邻域，记为N(a,).



即N(a,){xa−xa+}{x|x−a|}





a−aa+x

点a叫做这邻域的,叫做这邻域的半径.

去心邻域:

点的邻域去掉点的集合称为的去心邻域，

aaa

o

记为N(a,)，即

o

N(a,)(a−,a)(a,a+){x0x−a}.

开区间(a−,a)称为a的左邻域,开区间

(a,a+)称为a的右邻域.

今后，当不需要指明的具体数值时，N(a,)简记为N(a)，

oo

N(a,)简记为N(a).

二.确界

定义设AR，且A，若存在LR，使xA

有x()L,则称L为A的一个上（下）界.

若数集A既有上界，又有下界，则称A有界，否则称A.

定义设AR，且A，若存在数(或)满足：

（1）xA，有x(或x),

（2）0，x0A,使x0−(或x0+)

则称为A的上确界，记为supA.

（为A的下确界，记为infA.）

如果一个数集存在上确界（下确界），则此确界是唯一的.

1111

例：数集A{1,,,,,}，则infA0,supA1.

23n



例：数集A{x|xsint,−t}，则infA=−1,

22

supA1.

n1

例：数集A{|nN+}，则infA,supA1.

n+12

确界存在定理

有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界.

例：数集A{x|x0,x22,xQ}在Q内有上界，

却没有上确界.

三、函数

1.函数的概念

定义：设数集DR,则称映射