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四年级奥数专项训练之枚举法应用

同学们，今天我们来聊聊一个在数学学习中非常有用的“老朋友”——枚举法。它听起来可能有点高深，但实际上，枚举法就是一种我们在生活中也常常会用到的思考方式。简单来说，枚举法就是把所有可能的情况按照一定的顺序一个一个地列出来，然后从中找到符合要求的答案。就像我们在一堆积木中寻找特定形状的那块，我们会一块一块地看过去，直到找到它为止。在奥数问题中，很多时候题目不会直接告诉我们答案，也没有现成的公式可以套用，这时枚举法就成了我们最可靠的工具之一。它能帮助我们有条理地思考，避免遗漏或重复。

枚举法的“小秘诀”——有序与分类

运用枚举法解决问题，最关键的两点是：有序思考和合理分类。

*有序思考：就是按照一定的顺序去列举，比如从大到小、从小到大，或者从左到右、从上到下。这样做的好处是，我们能保证不重复地把所有情况都考虑到，也不容易遗漏。如果东一榔头西一棒子地乱找，很可能会漏掉一些重要的情况，或者在同一个地方兜圈子。

*合理分类：当遇到比较复杂的问题，可能的情况比较多时，我们可以先根据问题的特点进行分类，然后在每一类中再进行有序的枚举。这样就像把一个大难题分解成了几个小问题，解决起来就会轻松很多。

经典例题解析

下面，我们通过几个经典的四年级奥数例题，来看看枚举法是如何大显身手的。

例题一：数字搭配问题

题目：用数字卡片1、2、3可以组成多少个不同的两位数？（卡片不能重复使用）

分析与解答：

这是一个典型的排列问题，我们可以用枚举法来解决。

首先，我们考虑十位上的数字。十位上可以是1、2或者3。

1.当十位上是1时，个位上可以是剩下的2或者3，组成的数是：12，13。

2.当十位上是2时，个位上可以是剩下的1或者3，组成的数是：21，23。

3.当十位上是3时，个位上可以是剩下的1或者2，组成的数是：31，32。

我们按照十位数字从小到大的顺序进行枚举，这样既清晰又不会重复和遗漏。

所以，一共可以组成2+2+2=6个不同的两位数。

例题二：图形计数问题

题目：数一数，下面的图形中一共有多少个三角形？

（此处应有一个简单的图形，例如：一个大三角形被两条线分成多个小三角形，假设是由一个顶点出发引两条线，将大三角形分成6个小三角形，但实际计数需要考虑不同大小）

（为了描述，我们假设图形是：一个大三角形，内部有一条横线将其分成上下两个小三角形，然后在上方的小三角形中，从顶点出发引一条线到对边中点，将其再分成两个更小的三角形。这样整个图形就有多种大小的三角形了。）

分析与解答：

数图形个数时，如果直接数，很容易数错。这时，枚举法结合分类思想就非常有效。我们可以按照三角形的大小或者组成来分类枚举。

1.第一类：最小的基本三角形。我们可以给它们编上号，或者直接观察。假设图中有3个最小的三角形（这里根据实际描述图形调整，假设为3个）。

2.第二类：由两个基本三角形组成的三角形。我们需要仔细观察哪些两个小三角形可以组成一个新的三角形。假设能组成2个。

3.第三类：由三个基本三角形组成的三角形。或者可能是由更大的部分组成。假设能组成1个（就是最外面的大三角形）。

然后把每一类的数量加起来：3+2+1=6个。

（请注意：此处的数字仅为示例，具体数字需根据实际图形确定，核心是展示“分类枚举”的方法。在实际教学中，老师会引导学生如何界定“基本三角形”以及如何组合。）

例题三：简单组合问题

题目：小红有3种不同颜色的上衣（红、黄、蓝）和2条不同颜色的裤子（黑、白），她想穿一套衣服去上学，有多少种不同的搭配方法？

分析与解答：

这是一个搭配问题，我们可以用枚举法把所有可能的搭配都列出来。

我们可以先选定一件上衣，然后搭配不同的裤子。

1.红色上衣：可以搭配黑裤子、白裤子。共2种搭配。

2.黄色上衣：可以搭配黑裤子、白裤子。共2种搭配。

3.蓝色上衣：可以搭配黑裤子、白裤子。共2种搭配。

所以，总共有2+2+2=6种不同的搭配方法。

我们也可以用画图（比如连线法）来辅助枚举，更直观。

例题四：条件限制下的枚举

题目：一个两位数，十位数字与个位数字的和是7，这样的两位数有哪些？请全部写出来。

分析与解答：

这道题要求我们找出所有十位数字与个位数字之和为7的两位数。首先明确，两位数的十位数字不能是0。我们可以按照十位数字从1开始枚举，直到9，然后计算对应的个位数字是否满足和为7，并且个位数字是0-9之间的整数。

1.十位数字是1时：个位数字=7-1=6→两位数是16。

2.十位数字是2时：个位数字=7-2=5→两位数是25。

3.十位数字是3时：个位数字=7-3=4→两