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趣味数学约瑟夫斯环教学设计（三篇）

教案一：课题名称

生死游戏中的数学密码：约瑟夫斯环的递归解法探秘

一、教学目标

知识与技能

学生能复述约瑟夫斯环问题的经典情境，准确描述递归解法的核心逻辑，复述准确率≥90%

学会用递归函数求解n个人、k步淘汰的约瑟夫斯问题，代码编写完整率≥85%

能解释递归过程中状态转移的数学意义，如f(n,k)=(f(n-1,k)+k)\%n，理解完整率≥70%

过程与方法

通过故事建模→递归推导→程序验证的路径，建立问题抽象—数学建模—算法实现的思维链

运用游戏模拟法具象化淘汰过程，通过递归追踪表拆解函数调用逻辑

情感态度与价值观

感受数学在游戏中的精巧应用，主动探索算法优化的学生≥95%

培养从特殊到一般的归纳思维与计算思维

二、教学重点与难点

重点

①递归关系式的推导（淘汰后子问题与原问题的映射关系）

②递归函数的边界条件设定（n=1时的返回值）

难点

①理解淘汰位置在递归过程中的坐标变换（原编号与子问题编号的映射）

②避免递归深度过深导致的栈溢出问题（如n=1000时的性能思考）

三、教学方法

情境导入法、递归追踪法、游戏体验法

教学准备

约瑟夫斯环历史故事视频、递归调用流程图、Python编程环境

四、教学过程

（一）历史谜案导入：古罗马士兵的生死抉择（10分钟）

故事震撼

播放约瑟夫斯环起源传说：公元67年，犹太士兵约瑟夫斯和战友被围，他们约定围成圈报数，每第3人自杀，约瑟夫斯如何活到最后？

现场模拟：10名学生围成圈，演示k=3时的淘汰过程，记录存活者编号

数学建模

问题抽象：n个人编号1~n，每次数到k的人淘汰，求最后存活者编号f(n,k)

（二）递归逻辑深度解析（35分钟）

递归关系式推导（15分钟）

子问题分解：

第一轮淘汰第k人，剩余n-1人形成新环，编号为(k+1)\~n,1\~(k-1)

新环与原环的编号映射：新环中编号m对应原环编号(m+k)\%n

递归式总结：

f(n,k)=\begin{cases}0n=1\\(f(n-1,k)+k)\%nn1\end{cases}

坐标变换演示：n=7,k=3时，淘汰3号后，新环编号4~7,1~2对应原编号4~7,1~2，新环中f(6,3)=5对应原环(5+3)\%7=1

递归追踪表（12分钟）

绘制n=5,k=2的递归调用树：

f(5,2)→f(4,2)→f(3,2)→f(2,2)→f(1,2)=0

回溯计算：f(2,2)=(0+2)%2=0→f(3,2)=(0+2)%3=2→...

错误辨析：为什么递归式返回值用0开始编号？（方便模运算，最终结果+1转换为1开始编号）

编程实现（8分钟）

Python代码框架：

defjosephus(n,k):

ifn==1:

return0#0开始编号

else:

return(josephus(n-1,k)+k)%n

print(josephus(10,3)+1)#转换为1开始编号

调试技巧：用print语句追踪每次递归的n和返回值

（三）生死游戏实战演练（20分钟）

小组模拟

任务：用扑克牌代表10名士兵，手动计算k=4时的存活者，对比递归函数输出

递归优化讨论

提问：n=1000时递归会很慢，如何改进？（引出迭代解法，为下节课铺垫）

创意改编

改编问题：如果约瑟夫斯想保护战友，让第m个位置的人存活，如何调整k？

（四）互动交流：递归迷宫大冒险（15分钟）

问题1：为什么递归式要从0开始编号？（预留8分钟）

引导话术：模运算的特性与编号转换有什么关系？

参考答案：

生1：方便计算余数

生2：0开始编号时，模n直接得到下一个位置，比如n=5,k=2，淘汰1号（0开始编号是1），剩余编号2,3,4,0，新环编号0对应原编号2，递归式用0开始才能正确映射

问题2：递归解法的缺点是什么？（预留7分钟）

参考答案：

生1：重复计算

生2：n太大时栈溢出！比如n=1000会报错，就像贪吃蛇太长会撞墙，递归深度超过Python默认栈深度（默认1000）

五、课本讲解（教材节选）

原文内容

约瑟夫斯环问题可通过递归求解，设f(n,k)为n个人、每次数到k淘汰时的存活者编号（0开始），则当n=1时f