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高等代数分析题库及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值为（）

A.-2B.2C.-10D.10

答案：A

解析：\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=4-6=-2\)。

2.多项式\(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\)在\(x=1\)处的值为（）

A.-2B.2C.-10D.10

答案：A

解析：将\(x=1\)代入\(f(x)\)得\(f(1)=1^3-2\times1^2+3\times1-4=1-2+3-4=-2\)。

3.向量组\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

解析：该向量组线性无关，所以秩为3。

4.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组（）

A.线性无关B.线性相关C.秩为\(n\)D.以上都不对

答案：B

解析：\(\vertA\vert=0\)等价于\(A\)不可逆，其列向量组线性相关。

5.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩阵为（）

A.\(\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)

答案：A

解析：二次型矩阵\(A\)中\(a_{ij}=\frac{1}{2}(i\neqj)\)时对应\(x_ix_j\)系数，\(a_{ii}\)对应\(x_i^2\)系数，所以为\(\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\)。

6.已知\(A\)是\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)的值为（）

A.4B.8C.16D.32

答案：C

解析：\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)，这里\(n=3\)，\(k=2\)，所以\(\vert2A\vert=2^3\times2=16\)。

7.多项式\(f(x)=x^2-1\)在有理数域上的因式分解为（）

A.\((x-1)(x+1)\)B.\((x-i)(x+i)\)C.不可分解D.以上都不对

答案：A

解析：在有理数域上\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)。

8.向量\(\alpha=(1,2,3)\)与向量\(\beta=(2,4,6)\)的关系是（）

A.线性无关B.线性相关C.正交D.以上都不对

答案：B

解析：\(\beta=2\alpha\)，所以线性相关。

9.设\(A\)是可逆矩阵，则\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)的行列式\(\vertA^{-1}\vert\)等于（）

A.\(\vertA\vert\)B.\(\frac{1}{\vertA\vert}\)C.1D.0

答案：B

解析：\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)。

10.线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1-x_2=2\end{cases}\)的解为（）

A.\(x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}\)B.\(x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{1}{2}\)C.\(x_1=1,x_2=0\)D.无解

答案：A

解析：两式相加得\(2x_1=3\)，\(x_1=\frac{3}{2}\)，代入\(x_1+x_2=1\)得\(x_2=-\frac{1}{2}\)。

多项选择题（每题2分，共10题）

1.以下哪些矩阵是可逆矩阵（）

A.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\