等差数列的前n项和公式（第二课时）-2025-2026学年高二数学人教A版（2019)选择性必修第二册.pptxVIP

4.2.2等差数列的前n项和（第二课时）人教A版（2019）选择性必修二

学习目标1.会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究最值问题，体现逻辑推理能力（重点）2.能在具体情境中发现数列的等差关系，会应用等差数列模型解决相关问题，体现数学计算能力（难点）

1新课导入上一节课我们学习了等差数列的前n项和的公式，那么根据等差数列的前n项和公式，你发现它与哪个函数有关？具有那个函数的相关性质吗？

新课学习34例1：某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位．问第1排应安排多少个座位？分析：将第1排到第20排，各排的座位数依次排成一排，构成数列{an}，设数列的前n项和为，根据题意，数列{an}是一个等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可以利用等差数列的前n项和公式求首项.

新课学习例1：某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位．问第1排应安排多少个座位？设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn．根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20=800．由S20＝20a1＋×2＝800，可得?a1＝21因此，第1排应安排21个座位．

新课学习例2：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．分析：由a10和d0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an0，Sn递减，这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和.另一方面，等差数列的前n项和公式可以写成，

新课学习所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数当x=n时的函数值.如图，当d0时，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一点.因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn的值.例2：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．OnSn

新课学习例2：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．解法1：由an＋1－an=－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是递减数列．又由an＝10＋(n－1)×(－2)=－2n＋12，可知当n6时，an＞0；当n=6时，an=0；当n6时，an0.

新课学习例2：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．解法1：所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是说，当n＝5或6时，Sn最大．因为S5＝[2×10＋(5－1)×(－2)]=30，所以Sn的最大值为30．?解法1：

新课学习例2：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．解法2：因为由a1=10，d=－2，所以，当n取与最接近的整数，即5或6时，Sn最大，最大值为30.?

新课学习在例9中，当d=-3.5时，数列的前n项和有最值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题.an=10+(n-1)×(-3.5)=-3.5n+13.5，令-3.5n+13.5≥0，所以n≤3?所以{an}的前3项为正数，从第4项为负数，所以Sn有最大值，最大值为S3

新课学习等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10，d＞0时，Sn有大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；

新课学习等差数列前n项和的最值因为，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．

新课学习等差数列前n项和的常用性质

新课学习拓展：等差数列前n项和的最值求解的常用方法:方法一：通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；方法二：前n项和法：其基本思想是利用前n项和公式的二次函数特性，借助抛