【数】角的平分线判定课件+2025-2026学年人教版八年级数学上册.pptxVIP

第14章全等三角形

14.3角的平分线

第2课时角平分线的判定

/

判定

PD=PE

性质A

D

P

定义

0

作法

Ay

A

M

PDLOA,PELOB,垂足分别是D,E

0

OP平分∠AOB,

情境导入

C

B

C

B

0N

E

B

2

平行线的性质：两直线平行，同位角相等

平行线的判定：同位角相等，两直线平行

如果把角平分线的性质的题设与结论交换，

是否能得到角平分线的判定方法呢?

思考

探究新知角的平分线的判定

交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等”这个性质

的题设和结论，得到的命题还成立吗?

验证猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上

已知：角的内部的一个点到这个角两

边的距离相等.

求证：这个点在这个角的平分

线上.

B

角的平分线的判定

如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D,

PE⊥OB于点E,且PD=PE.

求证：点P在∠AOB的平分线上.

可以通过添加辅助线，

构造三角形来证明.

角的平分线的判定

证明：如图，经过点P作射线OC.

∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.

在Rt△OPD和Rt△OPE中，

OP=OP,

PD=PE,

∴△OPD≌△OPE(HL)

∴∠AOC=∠BOC

∴点P在∠AOB的平分线上.

EB

角的平分线的判定

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

如图，∵P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB.

数量关系

0

A

P

E

-C

B

几何语言：

位置关系

D

2角的平分线(顶点除外)可以看成

到角两边距离相等的所有点的集合.

所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线

归纳总结

1角的平分线的性质及判定的关系

角的内部，点到角两边距离相等

点在角的平分线上

性质

判定

例1如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：

(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

证明：(1)如图，过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE.同理PE=PF.

∴PD=PE=PF.

即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

E

例1如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：

(2)△ABC的三条角平分线交于一点.

(2)由(1)得，点P到边AB,CA的距离相等，∴点P在∠A的平分线上.

∴△ABC的三条角平分线交于一点.

E

跟踪训练如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E,

DF⊥AC于点F,且BE=CF.

求证：AD平分∠BAC.

证明：∵D是BC的中点，

∴BD=CD,

又∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠BED=∠CFD=90°,

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

跟踪训练如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E,

DF⊥AC于点F,且BE=CF.

求证：AD平分∠BAC.

证明：∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),

∴DE=DF,

又DE⊥AB,DF⊥AC,

∴AD平分∠BAC.BC

1.如图，AB⊥CD,CE⊥AD,垂足分别为B,E,AB=CE,AB,CE相交

于点F,连接DF.求证：FD平分∠BFE.

证明∵AB⊥CD,CE⊥AD,

∴∠ABD=∠CED=90°.

又∵DBLFB,DE⊥FE,

∴FD平分∠BFE.

∴△ABD≌△CED(AAS).

在△ABD和△CED中，

∴DB=DE,

证明(1)过点P作PD⊥AD,PE⊥BC,PF⊥AE,

∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，

∴PD=PE.

同理PE=PF.

∴PD=PE=PF.

即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

2.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是

△ABC的外角∠BCE的平分线，BF,CG相交于点P,求证：

(1)点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等；

(2)点P在∠A的平分线上.

垂足