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2025年韩国数学奥林匹克竞赛决赛试题

第一天

题1.求所有满足以下条件的正整数n:存在n的四个不同的正因数x,y,z,w,使得x+y+

题2.设ABC是一个锐角(非等腰)三角形,外接圆为Γ.设D,E,F分别为从A,B,C向对边所作垂线的垂足.设l是Γ在点B处的切线,P是线段BD的垂直平分线与l的交点.设Q≠A是直线AD与Γ的第二个交点.设直线BE、PQ分别再次与Γ相交于点S≠B和T≠Q.直线FE与

题3.设n,k为正整数.存在n个集合X1

对所有1≤ij≤n

对所有1≤t≤n,每个Xt恰有

X1

对每个1≤t≤n,定义pt为满足i∈Xt,j∈Xt+1且ij的有序对(i,

题4.设N为非负整数集.求所有函数f:N→N,满足以下条件

对所有a,

f

注:(定义f0x=x,对任意正整数k,记fkx为f的k次复合

第二天

题5.在三角形ABC的边BC上取点D,使得AD=BD=12CD.设P为线段AD上不同于A,D的一点.设M为线段PD的中点,J为三角形MDC的内心.三角形MJC与ABP的外接圆再次相交于两个不同的点Q,R

题6.对于满足0x1x2?x99的实数x1,

3

题7.设M≥2与n为正整数.某学校有M名学生和6n个社团.每名学生参加6n个

M

证明:可以将这些学生分配到各社团,使得以下条件成立:

任意两名不同学生中,恰有一人参加的社团数目至少为n.

题8.对正整数n≥3,定义fn为大于n的最小正整数m,使得mm-1可被nn-1

(1)fn

(2)n=9,或n-1是素数且n=2k+1(k为正整数),或n是素数且