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八年级数学上册知识点系统梳理

进入八年级，数学学习的深度和广度都有了新的拓展。上册内容在七年级的基础上，进一步巩固和深化了代数与几何的核心概念，并引入了一些新的重要思想方法。这份梳理旨在帮助同学们构建清晰的知识网络，夯实基础，为后续学习铺平道路。

一、全等三角形

三角形是平面几何的基本图形，而全等三角形则是研究三角形性质与判定的重要工具，也是后续学习几何证明的基础。

1.1全等形与全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。理解“对应”二字是关键，它意味着位置、大小和形状的完全一致。

1.2全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是全等三角形最基本也是最重要的性质，是我们进行几何推理和计算的依据。此外，全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线也分别相等，周长和面积也相等。

1.3三角形全等的判定

判定两个三角形全等，是解决几何问题的核心技能之一。我们学习了以下几种判定方法：

*边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

*边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。这里要特别注意“夹角”，必须是两条边所夹的角。

*角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

*角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。ASA和AAS可以结合起来理解，即只要有两个角对应相等，再加上一条对应边（无论是夹边还是对边）即可判定全等。

*斜边、直角边（HL）：对于直角三角形而言，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。这是直角三角形特有的判定方法。

在运用这些判定定理时，务必仔细分析已知条件，准确找出对应相等的元素，避免出现“SSA”等错误判定。

1.4全等三角形的应用

全等三角形的应用主要体现在证明线段相等、角相等，以及解决与测量相关的实际问题。通过构造全等三角形，可以将未知的量转化为已知的量，将分散的条件集中起来。

二、轴对称

轴对称是一种重要的图形变换，不仅在几何中有广泛应用，也蕴含着丰富的美学价值。

2.1轴对称图形与两个图形成轴对称

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

理解这两个概念的联系与区别至关重要：前者是一个图形自身的特性，后者是两个图形之间的关系。

2.2轴对称的性质

轴对称的基本性质是：

*对称轴是对应点连线的垂直平分线。

*对应线段相等，对应角相等。

*对应图形是全等形。

这些性质是解决轴对称相关问题的基础。

2.3作轴对称图形

利用轴对称的性质，可以作出一个图形关于某条直线对称的图形。关键在于找到图形上关键点的对称点，然后连接这些对称点。这不仅是一项基本技能，也有助于加深对轴对称性质的理解。

2.4用坐标表示轴对称

在平面直角坐标系中，点的轴对称变换有其规律：

*点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。

*点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。

*点(x,y)关于直线y=x对称的点的坐标为(y,x)。

*点(x,y)关于直线y=-x对称的点的坐标为(-y,-x)。

掌握这些规律，可以快速求出对称点的坐标，进而解决相关问题。

2.5等腰三角形

等腰三角形是一种特殊的轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（底边上的高、顶角的平分线）所在的直线。

性质：

*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

判定：

*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

等边三角形是特殊的等腰三角形（腰和底相等），它具有等腰三角形的所有性质，并且三个角都相等，都是60°。等边三角形的判定也有其特殊性。

三、实数

实数是有理数和无理数的统称，它的引入是对数系的一次重要扩充。

3.1平方根

算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。

平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那