中学数学综合应用题.docxVIP

中学数学综合应用题

在中学数学的学习旅程中，综合应用题犹如一座连接理论知识与实际问题的桥梁，它不仅考察学生对单个知识点的掌握程度，更注重检验其知识迁移、逻辑推理、分析问题和解决问题的综合能力。这类题目往往情境复杂，涉及多个数学分支，对学生的思维灵活性和严谨性提出了较高要求。本文精选数道具有代表性的中学数学综合应用题，并辅以详尽的思路解析与解答过程，旨在帮助同学们洞悉解题规律，掌握解题方法，最终实现数学素养的全面提升。

一、代数与几何的交汇：动态问题中的函数关系

例题1：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0t4）。

（1）用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度。

（2）设△PCQ的面积为Scm2，求S与t之间的函数关系式。

（3）在P、Q运动过程中，线段PQ的长度能否等于√17cm？若能，求出t的值；若不能，说明理由。

思路解析：

本题是典型的几何动态问题，融合了三角形、速度路程时间关系以及二次函数、一元二次方程等代数知识。解决此类问题的关键在于：

1.明确运动过程：清晰把握P、Q两点的运动起点、方向、速度和时间范围，将“动态”问题在某一时刻“静态”化。

2.用变量表示几何量：根据速度和时间，准确用含t的代数式表示出相关线段的长度，这是建立函数关系或方程的基础。

3.构建数学模型：针对面积、长度等问题，联想相关的几何公式（如三角形面积公式、勾股定理），从而列出函数关系式或方程。

4.求解与检验：求解所建立的函数或方程，并结合实际问题（如时间t的取值范围）对结果进行检验，确保其合理性。

解答过程：

（1）由题意知，点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t秒，所以AP=1×t=tcm。

因为AC=6cm，所以PC=AC-AP=(6-t)cm。

点Q的运动速度为2cm/s，所以CQ=2×t=2tcm。

（2）在Rt△PCQ中，∠C=90°，PC=(6-t)cm，CQ=2tcm。

根据三角形面积公式，S=1/2×PC×CQ=1/2×(6-t)×2t=(6-t)t=-t2+6t。

所以S与t之间的函数关系式为S=-t2+6t（0t4）。

（3）在Rt△PCQ中，根据勾股定理，PQ2=PC2+CQ2。

若PQ=√17cm，则PQ2=17。

即(6-t)2+(2t)2=17。

展开得：36-12t+t2+4t2=17。

合并同类项得：5t2-12t+19=0。

计算判别式△=(-12)2-4×5×19=144-380=-2360。

因为判别式小于0，所以此方程无实数根。

因此，在P、Q运动过程中，线段PQ的长度不能等于√17cm。

二、方程与实际生活的联系：优化与决策问题

例题2：

某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。

（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，设购进A商品m件，那么该商店有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，若A商品每件售价30元，B商品每件售价45元，哪种进货方案可使商店获利最大？最大利润是多少元？

思路解析：

本题是一道涉及二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用题，主要考察学生运用数学知识解决优化决策问题的能力。

1.建模求解基本量：对于第一问，通常可根据题意设出未知数，利用给定的等量关系列出二元一次方程组，求解得到商品的进价。

2.确定取值范围与方案：第二问要求在资金限制和数量关系限制下，确定进货方案的种类。这里需要根据题意列出不等式组，求出未知数的取值范围，再根据未知数（商品数量）为正整数的特性，确定具体的方案数。

3.利用函数求最值：第三问是利润最大化问题。首先要建立利润与进货量之间的函数关系式，然后根据函数的性质（如一次函数的增减性），结合自变量的取值范围，求出最大利润及对应的进货方案。

解答过程：

（1）设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元。

根据题意，得：

{3x+2y=120

{5x+4y=220

解方程组：

将第一个方程乘以2，得6x+4y=240。

用此方程减去第二个方程：(6x+4y)-(5x+4y)=240-220，即x=20。

将x=20代