高等数学第八节函数的连续性.pptVIP

讨论函数xyO在x=0无定义,x=0为函数的间断点,故x=0为函数的第二类间断点.所以称它为无穷间断点.由于例6解第30页，共54页，星期日，2025年，2月5日在x=0处无定义,又不存在,故x=0为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例7解第31页，共54页，星期日，2025年，2月5日O?11xy第32页，共54页，星期日，2025年，2月5日无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷振荡型间断点左右极限至少有一个振荡第33页，共54页，星期日，2025年，2月5日回忆函数极限的四则运算则三、初等函数的连续性第34页，共54页，星期日，2025年，2月5日1、连续函数的四则运算设函数f(x)、g(x),fi(x)在点x0处连续,则即第35页，共54页，星期日，2025年，2月5日有限个在点x0处连续函数的和仍是一个在点x0处连续的函数.即第36页，共54页，星期日，2025年，2月5日(2)有限个在点x0处连续的函数之积仍是一个在点x0处的连续函数.即第37页，共54页，星期日，2025年，2月5日(3)两个在点x0处连续函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点x0处连续函数.即第38页，共54页，星期日，2025年，2月5日第1页，共54页，星期日，2025年，2月5日一、连续函数的概念极限形式增量形式第2页，共54页，星期日，2025年，2月5日1、连续性概念的增量形式在某过程中,变量u的终值u2与它的初值u1的差u2?u1,称为变量u在u1处的增量,记为?u=u2－u1.定义?u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.有时我们也称?u为变量u在u1处的差分.第3页，共54页，星期日，2025年，2月5日设函数f(x)在U(x0)内有定义,x?U(x0),则称?x=x?x0为自变量x在x0点处的增量.=f(x0+?x)?f(x0)?y=f(x)?f(x0)?x?yOx0xxyy=f(x)此时,x=x0+?x,相应地,函数在点x0点处有增量?y第4页，共54页，星期日，2025年，2月5日连续性概念的增量形式则称f(x)在点x0处连续.设f(x)在U(x0)内有定义.若定义自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零.第5页，共54页，星期日，2025年，2月5日设f(x)在U(x0)内有定义,若则称函数f(x)在点x0处是连续的.2、函数连续性的定义(极限形式)函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.定义是整个邻域第6页，共54页，星期日，2025年，2月5日函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义)(极限值等于函数在点x0处的函数值)第7页，共54页，星期日，2025年，2月5日函数y=x2在点x=0处是否连续??函数y=x2在点x=0处连续.又且?y=x2在U(0)内有定义,例1解第8页，共54页，星期日，2025年，2月5日3.函数的左、右连续性设函数f(x)在[x0,x0+?)内有定义.若则称f(x)在x0点处右连续.设函数f(x)在(x0–?,x0]内有定义.若则称f(x)在x0点处左连续.其中,???为任意常数.定义第9页，共54页，星期日，2025年，2月5日函数在点x0连续,等价于它在点x0既左连续又右连续.定理第10页，共54页，星期日，2025年，2月5日讨论y=|x|,x?(?????)在点x=0处?y=|x|在点x=0处连续.xyy=|x|O的连续性.例2解第11页，共54页，星期日，2025年，2月5日讨论函数f(x)=x2, x