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计算方法复习

1.来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——方法误差(截断误差）机器字长有限——舍入误差第1章绪论2.传播与积累误差误差与有效数字绝对误差相对误差有效数字函数的误差估计几点注意事项

第2章非线性方程求根§1多项式基础§2二分法§3迭代法迭代法的几何意义?Aitken加速：§4牛顿法§5迭代法的收敛阶

求方程x3-2x-5=0的近似解，精确到0.001。例1：用二分法解：f(x)=x3-2x-5，ε=0.001，因为f(2)=-10，f(3)=160，

故方程在区间[2,3]上有根。又：

所以x*≈x9=2.0947265，而精确值为2.0945515...,误差为0取n=9，将计算结果列表如下：

例2：用迭代法解：因为f(1)=10、f(2)=-lg20，在区间(1,2)内有根。将方程变形为x=2-lgx，即?(x)=2-lgx，而：在(1,2)内，所以迭代是收敛的。求方程2-lgx-x=0的根，精确到0.001。

则：则迭代结束。因为：取x0=1，

例3:

§3.1高斯消元法用高斯消去法解方程组用列主元消去法解方程组用全主元消去法解方程组高斯-约当消去法§3.2三角分解法Doolittle分解法——LU分解的紧凑格式第3章解线性方程组的直接法

例4：用高斯消去法解方程组做回代过程有：解

对(A,b)做选主元及消去过程由同解方程，回代过程有：例5：用列主元消去法解方程组解

解：对于k=1，有例6：用Doolittle分解求解方程组对于k=3，有对于k=2，有

于是

第4章解线性方程组的迭代法§1向量和矩阵范数向量范数矩阵范数§2线性方程组的误差分析条件数§3Jacobi法和Gauss-Seidel法Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代法

例7:计算的三种范数解：解：例8:计算的三种范数

解：方程组的迭代格式为或例9：用雅可比方法解下列方程组x(0)=(1,1,1)T

取初始值x(0)=(1,1,1)T，计算结果如下表k01111-1.51.60.92.52-1.252.081.090.483-0.9152.0681.0170.3354-0.95751.98640.98470.08165-1.014451.988440.997110.056956-1.007222.002311.00260.013877-0.9975432.001971.000490.009687

解：方程组的迭代格式为例10：用高斯-赛德尔法解下列方程组

取初始值x(0)=(1,1,1)T，计算结果如下表kx1x2x3||x(k)-x(k+1)||01111-1.52.11.042.52-0.931.9940.99360.573-1.00621.999961.0006240.07624-0.9997082999964160.006492

第6章插值§1插值多项式拉格朗日多项式牛顿插值——差商?§3分段低次插值?分段线性插值

例1117611.301010152011.17611.3010已知:利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。解：设则:故:所以-

例12:

第8章数值积分§1Newton-Cotes公式代数精度§2复合求积§3龙贝格积分

例15，有积分公式:求该积分公式的代数精确度。对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。解：取f(x)=1，取f(x)=x，取f(x)=x2，?==

xif(xi)0 11/8 0.9973978671/4 0.9896158373/8 0.9767267441/2 0.9588510775/8 0.9361556373/4 0.908851687/8 0.8771925741 0.841470985xi01/8