不同函数增长的差异+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

4.4.3不同函数增长的差异

问题的提出：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？

请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：(1)比较三种方案每天回报量；(2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.投入资金相同，回报量多者为优思考：

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元；y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.4×2x-1(x∈N*)分析：

x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…3040030010214748364.8107374182.4

图-1我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？

图112-1从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 第5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？

下面再看累计的回报数：结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。天数回报/元方案一二三401234567891011801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

例：探究函数的增长情况并分析差异。

8642-22468xyO

比较函数的增长快慢.8642-22468xyO

比较函数的增长快慢.8642-22468xyO

8642-22468xyO

30282624222018161412108642510xyO放大后的图象

结论：根据图象，不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的x的取值范围分别如何？思考：上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x

综上所述：(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数。(2)、随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n0)的增长速度。(3)、随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n0)的增长速度。总存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax

1.下列说法不正确的是()A.函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数B.函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数C.存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立D.存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立练习C

3.函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是()A.y＝logax(a＞1) B.y＝bx(b＞1)C.y＝xc(c＞0) D.无法确定练习B