变化率问题课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册.pptxVIP

5.1.1变化率问题人教A版（2019）选择性必修二

学习目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系，体现逻辑推理能力（重点）2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系，体现逻辑推理能力（重难点）

1新课导入在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题.

新课学习34问题1：高台跳水运动员的速度在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)=–4.9t2+2.8t+11，该如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段的运动得越来越慢，在下降阶段的运动越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度近似地描述他的运动状态.

新课学习问题1：高台跳水运动员的速度举个例子：在0≤t≤0.2这段时间里，在1≤t≤1.5这段时间里，在t1≤t≤t2这段时间里，

新课学习计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？?运动员在这0≤t≤段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.?问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习瞬时速度的概念为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

新课学习瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt0时，1+Δt在1之后；当Δt0时，1+Δt在1之前.当Δt0时，把运动员在时间段[1,1+Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1+Δt]内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度.问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？当Δt0时，在时间段[1+Δt，1]内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习给出Δt更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？当Δt无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于-7.问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习给出Δt更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此，运动员在t=1s时的瞬时速度v(1)=-7m/s.问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习（1）求运动员在t=0.5s时的瞬时速度;所以运动员的瞬时速度为-2.1m/s.问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习（2）如何求运动员从起跳到入水过程中的某一时刻的瞬时速度？所以运动员在t0某一时刻的瞬时速度为2.8-9.8t0m/s问题1：高台跳水运动员的速度

新课学习问题2：抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究．你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况．

新课学习问题2：抛物线的切线的斜率如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势？To12123xyP0P当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1