2025年大学《数理基础科学》专业题库—— 数论证明技巧在实际问题中的应用.docxVIP

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数论证明技巧在实际问题中的应用

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

设\(a\)和\(b\)是正整数，且\(ab\)。证明：如果\(a\)和\(b\)互素，那么\(\gcd(a+b,ab)=1\)。

二、

已知\(p\)是一个素数，且\(a\)是整数。证明：\(p\)整除\(a^p-a\)的充分必要条件是\(p\)整除\(a\)。

三、

设\(n\)是正整数。证明：方程\(x^2+y^2=z^n\)有无穷多组正整数解\((x,y,z)\)。

四、

考虑整数序列\(a_n\)定义为：\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，且对于\(n\geq3\)，\(a_n\)是使得\(a_na_{n-1}\)且\(\gcd(a_n,a_{n-1})=1\)的最小正整数。证明：对于任意素数\(p\)，存在正整数\(N\)，使得当\(nN\)时，\(a_n\equiv1\pmod{p}\)。

五、

设\(n\)是正整数。证明：存在一个正整数\(m\)，使得\(m\)的所有不同质因数的乘积等于\(n\)。

六、

给定正整数\(k\)。证明：存在无穷多个正整数\(n\)，使得\(n\)不能被任何大于\(k\)的素数的平方整除。

七、

设\(n\)是正整数，且\(n\geq2\)。证明：在集合\(\{1,2,\ldots,n\}\)的所有子集构成的集合族中，存在一个最大的子集族，其中的任意两个子集的交集大小至多为1。

八、

设\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)是\(n\)个不同的正整数，且\(n\geq2\)。证明：存在一个排列\(\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(n)\)（\(\sigma\)是\(\{1,2,\ldots,n\}\)的一个排列），使得对于所有\(i\neqj\)，\(\gcd(a_{\sigma(i)},a_{\sigma(j)})1\)。

试卷答案

一、

证明：设\(d=\gcd(a+b,ab)\)。因为\(d\)整除\(a+b\)，所以\(d\)整除\((a+b)-a=b\)，且\(d\)整除\(a+b-b=a\)。因此，\(d\)整除\(a\)和\(b\)。又因为\(a\)和\(b\)互素，所以\(\gcd(a,b)=1\)。由最大公约数的性质，\(d\)只能是1。即\(\gcd(a+b,ab)=1\)。

二、

证明：必要性。如果\(p\mid(a^p-a)\)，则\(a^p\equiva\pmod{p}\)。由费马小定理，如果\(p\nmida\)，则\(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\)，从而\(a^p\equiva\cdota^{p-1}\equiva\cdot1\equiva\pmod{p}\)。这与\(a^p\equiva\pmod{p}\)一致。但如果\(p\mida\)，则\(a^p\equiv0\pmod{p}\)，而\(a\equiv0\pmod{p}\)，所以\(p\mida\)是\(p\mid(a^p-a)\)的必要条件。

充分性。如果\(p\mida\)，则\(a=kp\)，其中\(k\)是整数。代入\(a^p-a\)得\(a^p-a=(kp)^p-kp=kp(k^{p-1}p^{p-1}-1)\)。因为\(p\midkp\)，且\(p\mid(k^{p-1}p^{p-1}-1)\)（因为\(k^{p-1}p^{p-1}\)是\(p\)的倍数，减去1后模\(p\)余\(-1\)），所以\(p\mid(a^p-a)\)。即\(p\mida\)是\(p\mid(a^p-a)\)的充分条件。

综上，\(p\mid(a^p-a)\)的充分必要条件是\(p\mida\)。

三、

证明：使用数学归纳法。基础情况\(n=1\)，方程\(x^2+y^2=z^1\)有无穷多组正整数解，如\(x=1,y=0,z=1\)，或\(x=0,y=1,z=1\)，或\(x=1,y=1,z=\sqrt{