中学数学中不等式应用与解法策略研究.pdfVIP

不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因

此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯

通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内

在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用

范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解

的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、

解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最

终都可归结为不等式的求解或证明。

一、知识整合

1.解不等式的问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变

形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善

于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的

技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过

构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有

参数的不等式，运用图解法可以使得分类明晰．

2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用

不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等

式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程

的根、函数的性质和图象都与不等式的切相关，要把它们有机地联系起

来，相互转化和相互变用．

3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将

较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化

归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标

准更加明晰．

4.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式

的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，

要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的

一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．

5.证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依

据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或

不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得

到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证

的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明

Theknowledgeofinequalitiespermeatesallbranchesofmiddleschoolmathematicsandhasavery

widerangeofapplications.Therefore,theapplicationofinequalitiesreflectsacertaindegreeof

comprehensiveness,flexibilityanddiversity,andplaysaverygoodroleinpromotingtheintegrationof

allpartsofmathematics.Whensolvingproblems,youmustchooseappropriatesolutionsbasedonthe

structuralcharacteristicsandinternalconnectionsofthequestionsandconclusions,andultimatelyboil

downtothesolutionorproofofinequalities.ApplicationofinequalitiesThescopeisverywide,andit

alwaysrunsthroughtheentiremiddleschoolmathematics.Suchassetproblems,discussionof

solutionstoequ