2026年高考数学一轮复习专题1.4 基本不等式及其应用（举一反三讲义）（全国）（解析版）.docxVIP

专题1.4基本不等式及其应用(举一反三讲义)

【全国通用】

题

题型归纳

【题型1基本不等式及其应用】 3

【题型2直接法求最值】 4

【题型3配凑法求最值】 6

【题型4常数代换法求最值】 7

【题型5消元法求最值】 8

【题型6齐次化求最值】 10

【题型7多次使用基本不等式求最值】 11

【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】 13

【题型9利用基本不等式解决实际问题】 15

【题型10基本不等式与其他知识交汇】 17

考情分析

考情分析

1、基本不等式及其应用

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解基本不等式的推导过程

(2)会用基本不等式解决最值问题

(3)理解基本不等式在实际问题中的应用

2022年I卷：第12题，5分

2023年新高考I卷：第22题，12分

2025年北京卷：第6题，4分2025年上海卷：第8题，5分

基本不等式及其应用是每年高考的重

点、热点内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.

知识梳理

知识梳理

知识点基本不等式

1.两个不等式

不等式

内容

等号成立条件

重要不等式

a2+b2≥2ab(a,b∈R)

当且仅当“a=b”时取“=”

基本不等式

当且仅当“a=b”时取“=”

叫做正数a,b的算术平均数，√ab叫做正数a,b的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.基本不等式与最值已知x,y都是正数，

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2√P;

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0,(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件.

3.常见的求最值模型

(1)模型一：,当且仅当时等号成立；

(2)模型二：,当且仅当时等号成立；

(3)模型三：(a0,c0),当且仅当时等号成立；

(4)模型四：,当且仅当时等号成立.

4.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为

,再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

举一反三

举一反三

【题型1基本不等式及其应用】

【例1】(2025·北京·高考真题)已知a0,b0,则()

A.a2+b22abB.

C.a+b√abD.

【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断.

【解答过程】对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误；

对于BD,,此时

故BD错误；

对于C,由基本不等式可得a+b≥2√ab√ab,故C正确.

故选：C.

【变式1-1】(2025·陕西宝鸡·二模)设a,b∈R,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的)

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【解答过程】若a+b≥2,则成立，当且仅当a=b=1时取等，

若a2+b2≥2,不妨设a=b=-1,则a+b≥2不成立，

所以“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件.

故选：C.

【变式1-2】(2025·全国·三模)已知a0,b0,且a+b=1,)

A.