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九年级数学证明圆的切线专题

圆的切线，作为圆的重要性质之一，在平面几何中占据着举足轻重的地位。九年级阶段对圆的切线的学习，不仅要求理解其定义和性质，更重要的是掌握如何严谨地证明一条直线是圆的切线。这不仅是几何推理能力的体现，也是解决复杂几何问题的基础。本文将系统梳理证明圆的切线的基本思路与常用方法，并结合实例进行剖析，以期为同学们提供有益的参考。

一、切线的判定定理：核心依据

要证明一条直线是圆的切线，最根本的依据是切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个定理包含两个关键要素，缺一不可：

1.直线经过半径的外端：即直线与圆有一个明确的公共点，且该点为所连半径的端点。

2.直线垂直于这条半径：直线与半径所成的角为直角。

因此，证明切线的问题，本质上就是围绕这两个要素展开，即如何巧妙地“连半径”并“证垂直”，或者在特定情况下“作垂直”并“证半径”。

二、证明切线的常用思路与方法

（一）“连半径，证垂直”——已知公共点时的首选

当题目中明确给出直线与圆的一个公共点，或者通过图形可以直接观察到直线与圆有一个公共点时，我们通常采用“连半径，证垂直”的思路。

具体步骤：

1.连接半径：连接圆心与该公共点，得到一条半径。

2.证明垂直：通过已知条件、几何图形的性质（如等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、菱形或正方形的性质等）或相关定理（如圆周角定理的推论），证明这条半径与待证的直线垂直。

证明垂直的常用角度：

*利用已知直角：若题中存在其他直角条件，可通过角的等量代换、互余关系等证明待证角为直角。

*利用等腰三角形“三线合一”：若所连半径与圆的另一条半径构成等腰三角形，且待证直线是该等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则可证明其垂直。

*利用勾股定理的逆定理：若能求出三角形三边的长度（或表达式），通过验证两短边的平方和等于长边的平方，从而证明该三角形为直角三角形。

*利用平行线性质：若已知某直线垂直于一条直线，而待证直线与该直线平行，则待证直线也垂直于这条直线。

*利用全等或相似三角形：通过证明包含半径和待证直线的三角形与已知的直角三角形全等或相似，从而得到对应角相等，进而证明垂直。

例题示范：

（此处假设有一个例题，例如：已知直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。）

分析：题目明确指出直线AB经过⊙O上的点C，即C为公共点。

证明思路：连接OC（连半径），然后证明OC⊥AB（证垂直）。

因为OA=OB，CA=CB，所以△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线。根据等腰三角形“三线合一”的性质，OC也是底边AB上的高，即OC⊥AB。又因为OC是⊙O的半径，所以AB是⊙O的切线。

（二）“作垂直，证半径”——公共点不明确时的策略

当题目中没有明确给出直线与圆的公共点，或者无法直接判断直线与圆是否有公共点时，我们通常采用“作垂直，证半径”的思路。

具体步骤：

1.作垂直：过圆心作待证直线的垂线，设垂足为点D。

2.证半径：证明圆心到该直线的距离（即所作垂线段OD的长度）等于圆的半径r。

适用场景：

此类问题往往需要利用题目中的距离关系、角平分线性质、勾股定理等知识来计算或推导出垂线段的长度等于半径。

例题示范：

（此处假设有一个例题，例如：已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，r为半径作圆。当r为何值时，⊙C与AB相切？）

分析：本题是“证相切”的逆问题，但思路相通。AB与⊙C是否相切，取决于圆心C到AB的距离是否等于半径r。

解答思路：过点C作CD⊥AB于点D（作垂直）。然后利用三角形面积相等法（等积法）求出CD的长度，若CD=r，则相切。在Rt△ABC中，AB可由勾股定理求出，再由面积公式AC×BC=AB×CD，解得CD的长度即为r的值。若将题目改为“已知r等于上述CD的值，求证：AB是⊙C的切线”，则完全符合“作垂直，证半径”的模式。

三、证明切线的技巧与注意事项

1.仔细审题，明确条件：准确理解题意，区分已知条件中是否给出公共点，这是选择“连半径，证垂直”还是“作垂直，证半径”的关键。

2.辅助线的规范作法：辅助线是几何证明的桥梁。“连半径”和“作垂直”是证明切线最核心的辅助线。作辅助线时，要用规范的几何语言描述，例如“连接OC”、“过点O作OD⊥AB于点D”。

3.逻辑严谨，步步有据：证明过程中的每一步推理都要有充分的依据，不能凭空臆断。要善于将已知条件与图形性质、所学定理相结合。

4.多角度尝试，灵活转化：证明垂直的方法多种多样，不要局限于一种思路。当一种方法行不通时，要及时调整，尝试从不同角度寻找突破口，例如等量代换、角的和差关系等。

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