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九年级数学三角函数全章知识点整理

三角函数作为初中数学的重要组成部分，不仅是解决几何问题的有力工具，也是后续高中乃至大学数学学习的重要基础。本章将系统梳理九年级所学的三角函数知识，帮助同学们构建清晰的知识网络，提升应用能力。

一、锐角三角函数的定义

在直角三角形中，当锐角的度数确定时，其对边、邻边与斜边之间的比值是固定不变的。这便是三角函数的本质。我们设直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分别为a、b、c（其中c为斜边）。

1.正弦（sin）

∠A的正弦，记作sinA，定义为∠A的对边与斜边的比值，即：

sinA=∠A的对边/斜边=a/c

2.余弦（cos）

∠A的余弦，记作cosA，定义为∠A的邻边与斜边的比值，即：

cosA=∠A的邻边/斜边=b/c

3.正切（tan）

∠A的正切，记作tanA，定义为∠A的对边与邻边的比值，即：

tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b

重要说明：

*三角函数的值是一个比值，没有单位。

*sinA、cosA、tanA是一个整体符号，不能理解为sin与A的乘积，单独的sin没有意义。

*三角函数值的大小仅与锐角的大小有关，与直角三角形的边长无关。

二、特殊角的三角函数值

30°、45°、60°是初中阶段最常遇到的特殊锐角，它们的三角函数值是解决问题的基础，需要熟练记忆。

*30°角：

*sin30°=1/2

*cos30°=√3/2

*tan30°=√3/3(或写作1/√3)

*45°角：

*sin45°=√2/2

*cos45°=√2/2

*tan45°=1

*60°角：

*sin60°=√3/2

*cos60°=1/2

*tan60°=√3

记忆技巧：可以结合含特殊角的直角三角形（如30°角对边是斜边一半，等腰直角三角形两直角边相等）来理解记忆，避免死记硬背。观察这些值，可以发现sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°，这体现了互余角三角函数间的关系。

三、同角三角函数的基本关系

对于同一个锐角A，其正弦、余弦、正切之间存在以下基本关系：

1.平方关系：sin2A+cos2A=1

（这一关系由勾股定理推导而来，因为a2+b2=c2，所以(a/c)2+(b/c)2=1）

2.商数关系：tanA=sinA/cosA

（由正切定义tanA=a/b，而sinA=a/c，cosA=b/c，两者相除即得a/b）

这些关系在化简三角函数式、证明三角恒等式以及解三角函数问题时经常用到。

四、互余两角的三角函数关系

在直角三角形中，∠A+∠B=90°，即∠A与∠B互为余角。它们的三角函数值之间存在如下关系：

*sinA=cos(90°-A)

*cosA=sin(90°-A)

*tanA=cot(90°-A)（注：cot为余切，定义为邻边比对边，tanA*cotA=1）

简单来说，一个锐角的正弦等于它余角的余弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦。这一关系也印证了特殊角三角函数值中sin30°=cos60°等现象。

五、解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：三条边和两个锐角。由直角三角形中已知的元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

解直角三角形的依据：

1.三边之间的关系：勾股定理a2+b2=c2

2.两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

3.边角之间的关系：锐角三角函数定义（sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b等）

解直角三角形的基本类型及解法：

1.已知两边：

*已知两直角边(a,b)：先用勾股定理求斜边c，再用三角函数求一个锐角（如tanA=a/b），最后用两锐角互余求另一锐角。

*已知一直角边和斜边(a,c)：先用勾股定理求另一直角边b，再用三角函数求一个锐角（如sinA=a/c），最后求另一锐角。

2.已知一边一锐角：

*已知一直角边和一锐角(如a,∠A)：先求另一锐角∠B=90°-∠A，再根据三角函数求其余两边（如b=a/tanA，c=a/sinA）。

*已知斜边和一锐角(如c,∠A)：先求另一锐角∠B=90°-∠A，再根据三角函数求其余两边（如a=c*sinA，b=c*cosA）。

在解直角三角形时，选择合适的三角函数关系式是关键，通常遵循“有斜用弦（sin,cos），无斜用切（ta