2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题19导数的同构思想(4大题型)(学生版+解析).docxVIP

PAGE/NUMPAGES

专题19导数的同构思想

【题型归纳】

题型一：直接变形同构

题型二：加法同构

题型三：乘法同构

题型四：朗博同构

【方法技巧总结】

方法技巧总结一、常见的同构函数图像

函数表达式

图像

函数表达式

图像

函数极值点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

过定点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．同构小套路

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．

（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：

4、常见的对数放缩：

5、常见三角函数的放缩：

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

（1）且时，有

（2）当且时，有

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）

（3）

（4）

（5）

（6）

再结合常用的切线不等式lnxx-1，等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：

（7）；

（8）；

7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：

=1\*GB3①；

=2\*GB3②；

=3\*GB3③

8、乘法同构、加法同构

（1）乘法同构，即乘同构，如；

（2）加法同构，即加同构，如，

（3）两种构法的区别：

=1\*GB3①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；

=2\*GB3②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；

【典型例题】

题型一：直接变形同构

【例1】，不等式恒成立，则正实数的最大值是（）．

A． B． C． D．

【变式1-1】（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】对于，恒成立，则正数的范围是（????）

A． B． C． D．

题型二：加法同构

【例2】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（??）

A． B． C． D．

【变式2-1】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知，不等式恒成立，则的最大值为（???）

A． B．1 C． D．

【变式2-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

题型三：乘法同构

【例3】（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（????）．

A． B． C． D．

【变式3-1】（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式3-2】（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

题型四：朗博同构

【例4】已知函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象的上方，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【变式4-1】（2025·高三·云南昭通·开学考试）已知对于，都有，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【变式4-2】函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（????）

A． B． C． D．

【变式4-3】已知对于，都有，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【过关测试】

1．已知对恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．若函数，且，则正实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（???）

A．1 B． C． D．

4．若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（???）

A． B． C． D．

5．（2025·高三·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7