专题09 点与圆、直线与圆、求弧长、求扇形面积之六大题型（解析版）.docxVIP

专题09点与圆、直线与圆、求弧长、求扇形面积之六大题型

点与圆的位置关系

例题：（2023下·江苏无锡·九年级校联考期末）已知的半径为3，，则点A在（???????）

A．内 B．上 C．外 D．无法确定

【答案】C

【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，(d即点到圆心的距离，即圆的半径）．

【详解】解：∵，

∴点A与的位置关系是点在圆外，

故选：C．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．

【变式训练】

1．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知的直径为，若点到圆心的距离为．则点与的位置关是（????）

A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定

【答案】C

【分析】根据点与圆的位置关系即可得．

【详解】解：由题意得：的半径为，

点到圆心的距离为，

点在外，

故选：C．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．

2．（2023上·河南信阳·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是4，点的坐标为，则点与的位置关系是（????）

A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定

【答案】C

【分析】先利用勾股定理求出点P到原点的距离d，再判断d与半径r的大小关系，从而得出答案．

【详解】解：∵点的坐标是，

∴由勾股定理可得点P到圆心的距离，

又半径，

∴

∴点在内外，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点与圆的3种位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外，点P在圆上，点P在圆内．

直线与圆的位置关系

例题：（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．

????

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的半径长．

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】（1）作，垂足为点H，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，然后根据角平分线的性质，即可求证；

（2）根据勾股定理求出的长，可得，设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解．

【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点H，连接，

??

∵，D是的中点，

∴，

∴，

∵，

又∵，

∴，

即是的平分线，

∵点O在上，与相切于点E，

∴，且是的半径，

∴，是的半径，

∴是的切线；

（2）解：在中，，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴，

设的半径为r，则，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴．

∴的半径长为3．

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，等腰直角与交于点B，C，，延长与分别交于点D，E，连接，并延长至点F，使得．

??

(1)求的度数；

(2)求证：与相切；

(3)若的半径为2，求的长．

【答案】(1)

(2)证明见详解

(3)

【分析】（1）连接，由，得为的直径，再由是等腰直角三角形，即可求解；

（2）根据圆的性质可知，得，进而即可证明；

（3）连接，，即可求解；

【详解】（1）解：连接，

∵，

∴过圆心O，

∴为的直径，

∴，

∵是等腰直角三角形，

∵，

∴．

??

（2）根据圆的性质可知，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴与相切．

（3）连接，

∵，

∴．

??

【点睛】本题主要考查圆的综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的应用，正确做出辅助线是解本题的关键．

2．（2023上·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．

??

(1)求证：直线是的切线；

(2)求证：；

(3)若，，求的长．

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

(3)4．

【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；

（2）由，得到，由（1）有，可得，从而，根据“等角对等边”证得；

（3）在中，求得，又由（2）有，可得是等边三角形，从而，，因此在中，，根据“三线合一”可得，再求出，证得，从而．

【详解】（1）连接，

??

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵是的半径，

∴直线是的切线；

（2）∵，

∴，

∵

∴，

∴，

∴

（3）∵，

∴

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴在中，．

∵，平分，

∴．

∵在等边中，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形．本题的综合性较强，熟练掌